Question

3．（1）發(fā)現(xiàn)
如圖1，直線l₁∥l₂，l₁和l₂的距離為d，點(diǎn)P在l₁上，點(diǎn)Q在l₂上，連接PQ，填空：PQ長(zhǎng)度的最小值為d．
（2）應(yīng)用
如圖2，在四邊形ABCD中，DC∥AB，AD⊥AB，DC=2，AD=4，AB=6，點(diǎn)M在線段AD上，AM=3MD，點(diǎn)N在直線BC上，連接MN，求MN長(zhǎng)度的最小值
（3）拓展
如圖3，在四邊形ABCD中，DC∥AB，AD⊥AB，DC=2，AD=4，AB=6，點(diǎn)M在線段AD上任意一點(diǎn)，連接MC并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使MC=CE，以MB和ME為邊作平行四邊形MBNE，請(qǐng)直接寫出線段MN長(zhǎng)度的最小值

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂線段最短得：PQ長(zhǎng)度的最小值為：l₁和l₂的距離；
（2）如圖2，當(dāng)MN⊥BC時(shí)，MN的值最小，證明△EMN是等腰直角三角形，先根據(jù)AM=3MD，求DM的長(zhǎng)，證明△EDC∽△EAB，得ED=2，則EM=3，所以可得MN的長(zhǎng)；
（3）作輔助線，構(gòu)建相似三角形，先根據(jù)平行線分線段成比例定理得：$\frac{CG}{BG}=\frac{1}{2}$，G是BC上一定點(diǎn)，得出
當(dāng)MN⊥AD時(shí)，MN的長(zhǎng)最小，計(jì)算AH的長(zhǎng)就是MN的最小值．

解答 解：（1）∵直線l₁∥l₂，l₁和l₂的距離為d，
∴PQ長(zhǎng)度的最小值為d；
故答案為：d；
（2）如圖2，∵AD=4，AM=3DM，
∴AM=3，DM=1，
延長(zhǎng)AD、BC交于E，
當(dāng)MN⊥BC時(shí)，MN的值最小，
∵DC∥AB，
∴△EDC∽△EAB，
∴$\frac{ED}{EA}=\frac{DC}{AB}$，
∴$\frac{ED}{ED+4}=\frac{2}{6}$，
∴ED=2，
∴ED=DC=2，
∴△EDC是等腰直角三角形，
∴∠E=45°，
∴△EMN是等腰直角三角形，
∵EM=3，
∴MN=$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$；
（3）當(dāng)MN⊥AD時(shí)，MN的長(zhǎng)最小，
∴MN∥DC∥AB，
∴∠DCM=∠CMN=∠MNB=∠NBH，
設(shè)MN與BC相交于點(diǎn)G，
∵M(jìn)E∥BN，MC=CE，
∴$\frac{CG}{BG}=\frac{1}{2}$，
∴G是BC上一定點(diǎn)，
作NH⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于H，
∵∠D=∠H=90°，
∴Rt△MDC∽R(shí)t△NHB，
即$\frac{DC}{HB}$=$\frac{1}{2}$，
∴BH=2DC=4，
∴AH=AB+BH=6+4=10，
∴當(dāng)MN⊥AD時(shí)，MN的長(zhǎng)最小，即為10；
則線段MN長(zhǎng)度的最小值為10．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)、矩形、平行四邊形的性質(zhì)、垂線段最短，注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵，本題還運(yùn)用了類比的思想解決問(wèn)題．