Question

4．如圖，在矩形ABCD中，AD=$\sqrt{2}$AB，∠BAD的平分線交BC于點E，DH⊥AE于點H，連接BH并延長交CD于點F，連接DE交BF于點O，下列結論：
①∠AED=∠CED；
②OE=OD；
③BH=HF；
④BC-CF=2HE；
⑤AB=HF．
其中正確的有（　�。�

• A． ①②③④⑤
• B． ①②③④
• C． ①③④⑤
• D． ①②③⑤

Answer 1

分析 ①由條件可得AE=$\sqrt{2}$AB，從而得到AE=AD，可證明△ABE和△AHD全等，則有BE=DH，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°，求出∠CED=67.5°，從而判斷出①正確；
②求出∠AHB=67.5°，∠DHO=∠ODH=22.5°，然后根據(jù)等角對等邊可得OE=OD=OH，判斷出②正確；
③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角邊角”證明△BEH和△HDF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BH=HF，判斷出③正確；
④根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DF=HE，然后根據(jù)HE=AE-AH=BC-CD，BC-CF=BC-（CD-DF）=2HE，判斷出④正確；
⑤判斷出△ABH不是等邊三角形，從而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到⑤錯誤．

解答 解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=$\sqrt{2}$AB，
∵AD=$\sqrt{2}$AB，
∴AE=AD，
在△ABE和△AHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠DAE}\\{∠ABE=∠AHD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE=DH，
∴AB=BE=AH=HD，
∴∠ADE=∠AED=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，
∴∠CED=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠CED，故①正確；
∵AB=AH，
∵∠AHB=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（對頂角相等），
∴∠OHE=67.5°=∠AED，
∴OE=OH，
∵∠DHO=90°-67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°-45°=22.5°，
∴∠DHO=∠ODH，
∴OH=OD，
∴OE=OD=OH，故②正確；
∵∠EBH=90°-67.5°=22.5°，
∴∠EBH=∠OHD，
在△BEH和△HDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBH=∠OHD=22.5°}\\{BE=DH}\\{∠AEB=∠HDF=45°}\end{array}\right.$
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH=HF，HE=DF，故③正確；
∵HE=AE-AH=BC-CD，
∴BC-CF=BC-（CD-DF）=BC-（CD-HE）=（BC-CD）+HE=HE+HE=2HE．故④正確；
∵AB=AH，∠BAE=45°，
∴△ABH不是等邊三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故⑤錯誤；
綜上所述，結論正確的是①②③④，
故選B．

點評 本題為四邊形的綜合應用，涉及矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識．熟記各性質(zhì)并仔細分析題目條件，根據(jù)相等的度數(shù)求出相等的角，從而得到三角形全等的條件或判斷出等腰三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．