Question

12．如圖，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，3），D為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)Q，使∠AQC=90°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)P，使△OCD與△CBP相似，且∠COD=∠BCP，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程組即可解決．
（2）如圖2中，點(diǎn)M是AC中點(diǎn)，求出點(diǎn)M坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)Q（1，m），根據(jù)MQ=$\frac{1}{2}$AC，列出方程即可解決問(wèn)題．
（3）如圖3中，作DK⊥OC于K，當(dāng)CP在直線BC上方時(shí)，因?yàn)椤螩BO=45°，所以當(dāng)∠CBP₁=∠DCO時(shí)，點(diǎn)P₁，在x軸上，根據(jù)$\frac{CD}{B{P}_{1}}$=$\frac{CO}{BC}$，求解即可，當(dāng)∠CP₂B=∠DCO時(shí)，$\frac{C{P}_{2}}{CO}$=$\frac{CB}{DO}$，求出CP₂，作P₂M⊥CO于M，利用$\frac{{P}_{2}M}{O{P}_{1}}$=$\frac{CM}{CO}$=$\frac{C{P}_{2}}{C{P}_{1}}$即可解決問(wèn)題．當(dāng)直線CP在直線BC下方時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性，即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y=-x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
故拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
（2）令y=0得到-x²+2x+3=0，解得x=-1或3，故點(diǎn)A（-1，0），
如圖2中，點(diǎn)M是AC中點(diǎn)，M（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），設(shè)點(diǎn)Q（1，m），
∵∠AQC=90°，
∴MQ=$\frac{1}{2}$AC，
∴$\sqrt{（1+\frac{1}{2}）^{2}+（m-\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
解得m=1或2，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)（1，1）或（1，2）．
（3）如圖3中，作DK⊥OC于K，∵點(diǎn)D坐標(biāo)（1，4），點(diǎn)C坐標(biāo)（0，3），
∴CK=DK，∠KCD=45°，
∴∠DCO=135°，
∵△OCD與△CBP相似，∠COD=∠B，
當(dāng)CP在直線BC上方時(shí)，∵∠CBO=45°，
∴當(dāng)∠CBP₁=∠DCO時(shí)，點(diǎn)P₁，在x軸上，
∴$\frac{CD}{B{P}_{1}}$=$\frac{CO}{BC}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{B{P}_{1}}$=$\frac{3}{3\sqrt{2}}$，
∴BP₁=2，
∴P₁（5，0），
當(dāng)∠CP₂B=∠DCO時(shí)，$\frac{C{P}_{2}}{CO}$=$\frac{CB}{DO}$，
∴$\frac{C{P}_{2}}{3}$=$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{17}}$，
∴CP₂=$\frac{18}{\sqrt{34}}$，作P₂M⊥CO于M，
∵$\frac{{P}_{2}M}{O{P}_{1}}$=$\frac{CM}{CO}$=$\frac{C{P}_{2}}{C{P}_{1}}$
∴CM=$\frac{27}{17}$，P₂M=$\frac{45}{17}$，
∴OM=$\frac{24}{17}$，
∴P₂（$\frac{45}{17}$，$\frac{24}{17}$），
當(dāng)直線CP在直線BC下方時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性，可知：BP₃=BP₁=2，此時(shí)P₃（3，-2），
∵CP₄=CP₂=$\frac{18}{\sqrt{34}}$，同理可得P₄（$\frac{27}{17}$，$\frac{6}{17}$）
綜上所述點(diǎn)P坐標(biāo)（5，0）或（3，-2）或$\frac{45}{17}$，$\frac{24}{17}$）或（$\frac{27}{17}$，$\frac{6}{17}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理．直角三角形斜邊中線性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)正確畫(huà)出圖形，本題一題多解，屬于中考?jí)狠S題．