Question

12．如圖，M是拋物線y=ax²（a＞0）上一點(diǎn)，以MO為半徑畫⊙M交x軸于點(diǎn)A（2，0），交y軸于點(diǎn)B，交拋物線于另一點(diǎn)C．若$\widehat{CA}$=$\widehat{CB}$，則a=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 作輔助線，構(gòu)建正方形EOFC和全等三角形，證明△BEC≌△AFC，CE=CF，BE=AF，由A坐標(biāo)和垂徑定理得M的橫坐標(biāo)為1，代入拋物線得DM=a，由中位線定理得：OB=2a，設(shè)C（m，am²），根據(jù)CE=CF和AF=BE列方程組求出a的值．

解答 解：連接AB，AC，BC，
∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙M的直徑，
∴M在AB上，
∴∠ACB=90°，
∵$\widehat{CA}$=$\widehat{CB}$，
∴CA=CB，
過M作MD⊥x軸于D，
∴OD=AD=$\frac{1}{2}$OA=1，
∴M的橫坐標(biāo)為1，
當(dāng)x=1時(shí)，y=a，
∴DM=a，
∵AM=BM，OD=DA，
∴DM是△AOB的中位線，
∴OB=2DM=2a，
過C作CE⊥y軸于E，過C作CF⊥x軸于F，
∴∠AOB=∠OEC=∠OFC=90°，
∴四邊形EOFC是矩形，
∴∠ECF=90°，
∴∠ECB=∠FCA，
∵∠BEC=∠AFC=90°，
∴△BEC≌△AFC，
∴CE=CF，BE=AF，
∴矩形EOFC是正方形，
∴OF=OE=CF=CE，
設(shè)C（m，am²），
$\left\{\begin{array}{l}{m=a{m}^{2}}\\{2-m=m-2a}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
∵a＞0，
∴a=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，
故答案為：$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形中位線定理、垂徑定理、圓中弧、弦的關(guān)系、拋物線上點(diǎn)的特征、三角形全等的性質(zhì)和判定，明確在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．本題的關(guān)鍵是輔助線的作法．