Question

20．如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2$\sqrt{3}$，DE=2，下列結(jié)論：①AB=2；②∠E=45°；③四邊形OCED是菱形；④四邊形OCED的面積為2$\sqrt{3}$，其中正確的是①③④（把所有正確結(jié)論的序號都填上）．

Answer 1

分析 依據(jù)矩形的性質(zhì)可知OC=OD，然后依據(jù)平行四邊形的定義可知四邊形OCED是平行四邊形，從而可證明四邊形OCED是菱形故此可對③作出判斷，由菱形的性質(zhì)可得到OC=2，從而可求得AC的長，然后依據(jù)勾股定理可求得DC的長則可對①作出判斷，由DE=CE=DC=2，可求得∠E的度數(shù)，故此可對②作出判斷，連接OE，可證明四邊形OBCE為平行四邊形，從而可求得OE=2$\sqrt{3}$，最后依據(jù)菱形的面積等于兩對角線乘積的一半可求得菱形OCED的面積．

解答 解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四邊形OCED是平行四邊形，
∴OD=EC，OC=DE．
∵矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，
∴OD=OC．
∴四邊形OCED是菱形，故③正確．
∵DE=2，
∴AC=2OC=2DE=4，
∴AB=DC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=2，故①正確．
∴ED=DC=CE=2，
∴∠E=60°，故②錯(cuò)誤．
如圖所示：連接OE．

∵OB∥CE且OB=CE，
∴四邊形OBCE為平行四邊形．
∴OE=BC=2$\sqrt{3}$．
∴四邊形OCED的面積=$\frac{1}{2}$DC•OE=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，故④正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評 本題主要考查的是矩形的性質(zhì)、菱形、平行四邊形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．