Question

5．已知：如圖，D是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，DE⊥AC、DF⊥AB，垂足分別是E、F，且BF=CE，
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）當(dāng)∠A=90°時(shí)，判斷四邊形AFDE是怎樣的四邊形，證明你的判斷結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）欲證△ABC是等腰三角形，又已知DE⊥AC，DF⊥AB，BF=CE，可利用三角形全等的判定和性質(zhì)，得出兩內(nèi)角相等來證△ABC是等腰三角形；
（2）由三角形的全等得出DF=DE，再根據(jù)三個(gè)角是直角得出四邊形AFDE是正方形．

解答 證明：（1）∵DE⊥AC、DF⊥AB，
∴∠BFD=∠CED=90°，
∵D是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，
∴DB=DC，
在Rt△BFD和Rt△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=CE}\\{BD=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BFD≌Rt△DEC（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）四邊形AFDE是正方形，理由如下：
∵Rt△BFD≌Rt△DEC，
∴DF=DE，
∵∠BFD=∠CED=90°，∠A=90°，
∴四邊形AFDE是正方形．

點(diǎn)評(píng) 此題考查全等三角形，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的HL證明三角形全等，同時(shí)根據(jù)兩內(nèi)角相等來證等腰三角形和正方形的判定．