Question

8．已知如圖，∠MBC和∠NDC是四邊形ABCD的外角，若∠BAD=α，∠BCD=β．
（1）如圖1
①若α=50°，β=100°，則∠MBC+∠NDC=150度；
②若α+β=200°，則∠MBC+∠NDC=200度；
（2）BE是∠MBC的平分線，DF是∠NDC的平分線．
①如圖2，若BE與DF交于點G，求∠EBC+∠CDF的度數(shù)（用含α，β的代數(shù)式表示）；
②如圖3，若BE∥DF，請?zhí)角螃僚cβ之間的大小關系．

Answer 1

分析 （1）①利用角平分線的定義和四邊形的內(nèi)角和以及α+β=150°推導即可；②利用角平分線的定義和四邊形的內(nèi)角和以及α+β=200°推導即可；
（2）①利用角平分線的定義和四邊形的內(nèi)角和以及三角形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化即可；②利用角平分線的定義和四邊形的內(nèi)角和以及三角形的外角的性質(zhì)計算即可．

解答 解：（1）①在四邊形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-（α+β），
∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°
∴∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC=360°-（∠ABC+∠ADC）=360°-[360°-（α+β）]=α+β，
∵α=50°，β=100°，
∴∠MBC+∠NDC=150，
故答案為：150°；
②在四邊形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-（α+β），
∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°
∴∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC=360°-（∠ABC+∠ADC）=360°-[360°-（α+β）]=α+β，
∵α+β=200°，
∴∠MBC+∠NDC=200°，
故答案為：200；
（2）①如圖1，連接BD，

由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBG=$\frac{1}{2}$∠MBC，∠CDG=$\frac{1}{2}$∠NDC，
∴∠CBG+∠CDG=$\frac{1}{2}$∠MBC+$\frac{1}{2}$∠NDC=$\frac{1}{2}$（∠MBC+∠NDC）=$\frac{1}{2}$（α+β），
②如圖2，延長BC交DF于H，

由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBE=$\frac{1}{2}$∠MBC，∠CDH=$\frac{1}{2}$∠NDC，
∴∠CBE+∠CDH=$\frac{1}{2}$∠MBC+$\frac{1}{2}$∠NDC=$\frac{1}{2}$（∠MBC+∠NDC）=$\frac{1}{2}$（α+β），
∵BE∥DF，
∴∠DHC=∠EBC=$\frac{1}{2}$α，
∵∠BCD=∠CDH+∠DHB，
∴∠CDH=∠BCD-∠DHB=β-∠DHB，
∴$\frac{1}{2}$α+β-$\frac{1}{2}$α=$\frac{1}{2}$（α+β），
∴α=β．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了平角的意義，四邊形的內(nèi)角和，三角形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的意義，用整體代換的思想是解本題的關鍵，整體思想是初中階段的一種重要思想，要多加強訓練．