Question

18．如圖，點(diǎn)B在線段AF上，等邊三角形ABC邊長為1，菱形CDEF邊長為$\sqrt{7}$，且∠DCF=120°．則△ACD的面積是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 先過A作AG⊥DC，交DC的延長線于G，過B作BH⊥CF于H，過C作CQ⊥AB于Q，則∠CGA=∠CHB=90°，根據(jù)△ABC為等邊三角形，可得AC=BC，∠ACG=∠BCH，進(jìn)而判定△CGA≌△CHB，即可得到AG=BH，再根據(jù)CD=CF，可得S_△ACD=S_△BCF，因此求得△BCF的面積即可得到△ACD的面積．

解答 解：如圖所示，過A作AG⊥DC，交DC的延長線于G，過B作BH⊥CF于H，過C作CQ⊥AB于Q，則∠CGA=∠CHB=90°，
∵∠DCF=120°，
∴∠GCF=60°，
又∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠ACG=∠BCH，
在△CGA和△CHB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACG=∠BCH}\\{∠CGA=∠CHB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△CGA≌△CHB（AAS），
∴AG=BH，
又∵菱形CDEF中，CD=CF，
∴S_△ACD=S_△BCF，
∵等邊三角形ABC邊長為1，
∴QB=$\frac{1}{2}$，CQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵CF=$\sqrt{7}$，
∴Rt△CFQ中，QF=$\sqrt{C{F}^{2}-C{Q}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∴BF=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$=2，
∴S_△BCF=$\frac{1}{2}$BF×CQ=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴△ACD的面積是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積的計(jì)算，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，依據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等以及菱形的邊長相等，即可將△ACD的面積轉(zhuǎn)化為△BCF的面積．