Question

14．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-kx+5=0與x²+5x-k=0只有一個(gè)公共的實(shí)根，求關(guān)于x的方程|x²+kx|=|k|所有的實(shí)根之和．

Answer 1

分析 設(shè)一元二次方程x²-kx+5=0與x²+5x-k=0的公共根為t，根據(jù)方程解的定義得到t²-kt+5=0與t²+5t-k=0，兩方程相減得到（k+5）t=k+5，則t=1，然后把t=1代入x²-kx+5=0得k=6，則|x²+6x|=6，再分類討論：得出方程x²+6x=6或x²+6x=-6，求出答案即可．

解答 解：設(shè)一元二次方程x²-kx+5=0與x²+5x-k=0的公共根為t，
根據(jù)題意得t²-kt+5=0與t²+5t-k=0，
∴（k+5）t=k+5，
∵t有唯一的值，
∴k+5≠0，
∴t=1，
把t=1代入x²-kx+5=0得1-k+5=0，解得k=6，
∴|x²+6x|=6，
∴x²+6x=6或x²+6x=-6，
方程x²+6x=6的兩根之和為-6，方程x²+6x=-6的兩根之和為-6，
∴方程|x²+kx|=|k|所有的實(shí)根之和為-12．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓�有一個(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．