Question

19．如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=14cm，∠B=60°，P為下底BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AP，過點(diǎn)P作射線PE交線段DC于點(diǎn)E，使得∠APE=∠B，若DE：EC=5：3，則BP=2cm或12cm．

Answer 1

分析 作AF⊥BC于F，∠B=60°，由等腰梯形的性質(zhì)得到AF是BC、AD差的一半，在Rt△ABF中，根據(jù)∠B的度數(shù)及BF的長(zhǎng)可求得AB的值，由DE：EC=5：3時(shí)，求出DE、CE的值．由等腰梯形的性質(zhì)可得出∠B=∠C，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可證得∠EPC=∠BAP，可證△ABP∽△PCE，設(shè)BP的長(zhǎng)為x，進(jìn)而可表示出PC的長(zhǎng)，然后根據(jù)相似三角形，可得出關(guān)于AB、BP、PC、CE的比例關(guān)系式，求出BP的長(zhǎng)．

解答 解：如圖，過A作AF⊥BC于F；
∵等腰梯形ABCD中，AD=6cm，BC=14cm，
∴BF=4
∵Rt△ABF中，∠B=60°，BF=4；
∴AB=CD=8cm，
∵DEDE：EC=5：3，
∴EC=3，
由∠APC為△ABP的外角得∠APC=∠B+∠BAP；
∵∠B=∠APE
∴∠EPC=∠BAP
∵∠B=∠C
∴△ABP∽△PCE，
∴$\frac{AB}{PC}$=$\frac{BP}{EC}$，
設(shè)BP=x，則PC=14-x，
∴$\frac{8}{14-x}=\frac{x}{3}$，
解得：x₁=2，x₂=12，
∴BP的長(zhǎng)為2cm或12cm．
故答案為：2cm或12cm．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握梯形輔助線的作法以及數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用是解題的基礎(chǔ)，利用相似列比例式是解決問題的關(guān)鍵．