Question

10．操作：有2張邊長都是2的正方形紙片A和B，請你將紙片A的一邊的一個端點放在紙片B的對稱軸L上，另一個端點與紙片B的一個頂點重合后壓平．求紙片A與紙片B重合部分的面積．

Answer 1

分析 如圖，設(shè)紙片A與紙片B重合部分為四邊形EFGH或四邊形GFNM，根據(jù)已知條件得：EF=FG=FN=2，∠E=∠FGH=∠N=∠FGM=∠P=90°，證得R_t△EFH≌R_t△FGH，得到HG=EH，同理可證R_t△FGM≌R_t△FNM，得到GM=NM，設(shè)GM=NM=x，HG=EH=y，則PM=2-x，PH=2-y，HM=x+y，在R_t△PHM中，HM²=PH²+PM²，即（x+y）²=（2-x）²+（2-y）² ①，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{1}{2-x}=\frac{2}{x+y}$，于是得到y(tǒng)=-3x+4 ②，把②代入①，求出MN=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，EH=4-2$\sqrt{3}$，即可得到結(jié)果．

解答 解：如圖，設(shè)紙片A與紙片B重合部分為：四邊形EFGH或四邊形GFNM，
根據(jù)已知條件得：EF=FG=FN=2，∠E=∠FGH=∠N=∠FGM=∠P=90°，
在R_t△EFH與R_t△FGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=FG}\\{FH=FH}\end{array}\right.$，
∴R_t△EFH≌R_t△FGH，
∴HG=EH，
同理R_t△FGM≌R_t△FNM，
∴GM=NM，
設(shè)GM=NM=x，HG=EH=y，則PM=2-x，PH=2-y，HM=x+y，
在R_t△PHM中，HM²=PH²+PM²，
即（x+y）²=（2-x）²+（2-y）² ①，
∵∠GFQ=∠PMH=180°-∠HMN，∠FQG=∠FGM=90°，
∴△FQG∽△HPM，
∴$\frac{FQ}{PM}=\frac{FG}{HM}$，
∴$\frac{1}{2-x}=\frac{2}{x+y}$，
∴y=-3x+4 ②，
把②代入①，解得：x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，y=4-2$\sqrt{3}$，
∴MN=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，EH=4-2$\sqrt{3}$，
∴四邊形EFGH的面積=2×$\frac{1}{2}×2×（4-2\sqrt{3}）$=8-4$\sqrt{3}$，
四邊形GFNM面積=2×$\frac{1}{2}×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴紙片A與紙片B重合部分為：8-4$\sqrt{3}$，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了翻折變換-折疊問題，正方形的性質(zhì)，三角形面積的求法，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵．