Question

10．如圖：在△ABC中，CE、CF分別平分∠ACB與它的鄰補角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直線EF分別交AB、AC于M、N．
（1）求證：四邊形AECF為矩形；
（2）試猜想MN與BC的關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）如果四邊形AECF是菱形，試判斷△ABC的形狀，直接寫出結(jié)果，不用說明理由．

Answer 1

分析 （1）證明三個角是直角即可解決問題；
（2）結(jié)論：MN∥BC且MN=$\frac{1}{2}$BC．只要證明MN是△ABC的中位線即可；
（3）△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）；

解答 （1）證明：∵AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
又∵CE、CF分別平分∠ACB與它的鄰補角∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF，
∴∠ACE+∠ACF=$\frac{1}{2}$（∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴三個角為直角的四邊形AECF為矩形．

（2）結(jié)論：MN∥BC且MN=$\frac{1}{2}$BC．
證明：∵四邊形AECF為矩形，
∴對角線相等且互相平分，
∴NE=NC，
∴∠NEC=∠ACE=∠BCE，
∴MN∥BC，
又∵AN=CN（矩形的對角線相等且互相平分），
∴N是AC的中點，
若M不是AB的中點，則可在AB取中點M₁，連接M₁N，
則M₁N是△ABC的中位線，MN∥BC，
而MN∥BC，M₁即為點M，
所以MN是△ABC的中位線（也可以用平行線等分線段定理，證明AM=BM）
∴MN=$\frac{1}{2}$BC；
法二：延長MN至K，使NK=MN，
因為對角線互相平分，
所以AMCK是平行四邊形，KC∥MA，KC=AM因為MN∥BC，
所以MBCK是平行四邊形，MK=BC，
所以MN=$\frac{1}{2}$BC

（3）解：△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）．
理由：∵四邊形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，
∵EF∥AC，
∴AC⊥CB，
∴∠ACB=90°．即△ABC是直角三角形．

點評 本題考查矩形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)．三角形的中位線定理、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．