Question

20．如圖，已知四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上一點，E是CD邊的中點，AE平分∠DAM．
（1）求證：AM=AD+MC；
（2）AM=DE+BM是否成立？請直接做出判斷，不需要證明．

Answer 1

分析 （1）延長AE、BC交于點N，如圖1（1）所示，由四邊形ABCD為正方形，得到AD與BC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到一對角相等，再由AE為角平分線得到一對角相等，根據(jù)DE=CE，利用AAS得到三角形ADE與三角形NCE全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到AD=NC，由MN=MC+CN，等量代換即可得證；
（2）AM=DE+BM成立，理由為：過點A作AF⊥AE，交CB的延長線于點F，如圖1（2）所示，由四邊形ABCD為正方形，得到四個內(nèi)角為直角，AB=AD，且AB與DC平行，根據(jù)AF與AE垂直，利用等角的余角相等得到一對角相等，利用ASA得到三角形ABF與三角形ADE全等，利用全等三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等得到BF=DE，∠F=∠AED，再由AB與DC平行，得到一對內(nèi)錯角相等，等量代換得到一對角相等，利用等角對等邊得到AM=FM，等量代換即可得證．

解答 （1）證明：延長AE、BC交于點N，如圖1（1），
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠ENC，
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE，
∴∠ENC=∠MAE，
∴MA=MN，
在△ADE和△NCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠CNE}&{\;}\\{∠AED=∠NEC}&{\;}\\{DE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△NCE（AAS），
∴AD=NC，
∴MA=MN=NC+MC=AD+MC；
（2）解：AM=DE+BM成立，
理由如下：過點A作AF⊥AE，交CB的延長線于點F，如圖1（2）所示．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC，
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°，
∴∠FAB=90°-∠BAE=∠DAE，
在△ABF和△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FAB=∠EAD}&{\;}\\{AB=AD}&{\;}\\{∠ABE=∠D=90°}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ADE（ASA），
∴BF=DE，∠F=∠AED，
∵AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE，
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM，
∴∠F=∠FAM，
∴AM=FM，
∴AM=FB+BM=DE+BM．

點評 本題考查了正方形及矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識，考查了基本模型的構(gòu)造（平行加中點構(gòu)造全等三角形），綜合性比較強．添加輔助線，構(gòu)造全等三角形是解決這道題的關(guān)鍵．