Question

13．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，點F是CD上一點，且滿足$\frac{CF}{FD}$=$\frac{1}{3}$，連接AF并延長交⊙O于點E，連接AD、DE，若CF=2，AF=3．給出下列結(jié)論：
①△ADF∽△FED，②AD²=AF•AE，③$\frac{AG}{GD}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，④S_△DEF=4$\sqrt{5}$
其中正確的是（　�。�

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ②③④
• D． ②④

Answer 1

分析 ①由三角形的外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角得出∠DFE＞DAF，
②由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，根據(jù)垂徑定理可得：$\widehat{AD}=\widehat{AC}$，DG=CG，繼而證得△ADF∽△AED；
③由勾股定理可求得AG的長，即可求得tan∠ADF的值，繼而求得tan∠E=$\frac{\sqrt{5}}{4}$；
④首先求得△ADF的面積，由相似三角形面積的比等于相似比，即可求得△ADE的面積，繼而求得S_△DEF=4 $\sqrt{5}$

解答 解：根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得：∠DFE＞DAF，
∴△ADF與△FED不可能相似，
故①錯誤；
②∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，
∴$\widehat{AD}=\widehat{AC}$，DG=CG，
∴∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角），
∴△ADF∽△AED；
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AF}{AD}$，
∴AD²=AF•AE
故②正確；
③∵AF=3，F(xiàn)G=2，
∴AG=$\sqrt{A{F}^{2}-F{G}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴在Rt△AGD中，tan∠ADG=$\frac{AG}{DG}=\frac{\sqrt{5}}{4}$，
∴tan∠E=$\frac{\sqrt{5}}{4}$；
故③錯誤；
④∵DF=DG+FG=6，AD=$\sqrt{A{G}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{21}$，
∴S_△ADF=$\frac{1}{2}$DF•AG=$\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{5}$=3 $\sqrt{5}$，
∵△ADF∽△AED，
∴$\frac{{S}_{△ADF}}{{S}_{△AED}}$=（ $\frac{AF}{AD}$）²，
∴$\frac{3\sqrt{5}}{{S}_{△AED}}=\frac{3}{7}$，
∴S_△AED=7 $\sqrt{5}$，
∴S_△DEF=S_△AED-S_△ADF=4 $\sqrt{5}$；
故④正確．
故選D．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及三角函數(shù)等知識．此題綜合性較強，難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用