Question

6．在一次數學活動課上，老師將一塊等腰直角三角形紙片PMN的直角頂點P放在正方形ABCD的對角線BD上，使直角邊PM經過正方形的頂點C，另一直角邊PN與AB交于點E，如圖所示，問：CE和MN存在怎樣的位置關系．
（1）合作交流 數學實踐小組的同學展開了激烈的討論．
小華：我猜想到結論是CE∥MN；
小歌：若想證明CE∥MN，只要能得到PC=PE，就容易證明了；
小鵬，我觀察到PC和PA具有相等關系，如果能證明PA=PE，則PC和PE就相等了
…
請你利用上述交流信息或其他方法，驗證他們猜想到的結論的正確性．

Answer 1

分析 作PG⊥AB于G，作PH⊥BC于H，先由ASA證明△PGE≌△PHC，得出PE=PC，得出∠PCE=∠M，即可得出結論．

解答 解：CE∥MN，理由如下：作PG⊥AB于G，作PH⊥BC于H，如圖所示：
則∠PGB=∠PHB=∠PHC=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=45°，
∴四邊形PGBH是矩形，PG=PH，
∴∠HPG=90°，
∵△PMN是等腰直角三角形，
∴∠MPN=90°，∠M=45°，
∴∠GPE=∠HPC，
在△PGE和△PHC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PGE=∠PHC=90°}&{\;}\\{PG=PH}&{\;}\\{∠GPE=∠HPC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PGE≌△PHC（ASA），
∴PE=PC，
∴△PCE是等腰直角三角形，
∴∠PCE=45°，
∴∠M=∠PCE，
∴CE∥MN．

點評 本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質以及等腰直角三角形的判定與性質；熟練掌握正方形的性質，通過作輔助線證明三角形全等是解決問題的關鍵．