Question

14．如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=4，BC=7，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿線(xiàn)段BC向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D 出發(fā)，沿線(xiàn)段DA向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動(dòng)．過(guò)Q點(diǎn)垂直于AD的射線(xiàn)交BC于點(diǎn)N．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求NC、PN的長(zhǎng)（用t的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PCDQ構(gòu)成等腰梯形？
（4）是否存在某一時(shí)刻，使射線(xiàn)QN恰好將梯形ABCD的面積和周長(zhǎng)同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）首先判定四邊形ABNQ是矩形，得出BN=AQ=4-t，則NC=BC-BN=7-（4-t）=t+3，PN=BN-BP=（4-t）-t=4-2t；
（2）因?yàn)樗倪呅蜳CDQ是平行四邊形，得出QD=CP，由此建立關(guān)于t的方程求得答案即可；
（3）因?yàn)樗倪呅蜳CDQ構(gòu)成等腰梯形，得出QP=CD，且QD≠CP，由勾股定理分別求得QP和CD，進(jìn)一步建立方程求得答案即可；
（4）分別由射線(xiàn)QN恰好將梯形ABCD的面積平分和射線(xiàn)QN恰好將梯形ABCD的周長(zhǎng)平分建立方程求得t的數(shù)值，如果t的值相等，則存在，否則就不存在．

解答 解：（1）∵AD∥BC，∠ABC=90°，QN⊥BC，
∴四邊形ABNQ是矩形，
∴BN=AQ=4-t，NC=BC-BN=7-（4-t）=t+3，PN=BN-BP=（4-t）-t=4-2t；
（2）∵四邊形PCDQ是平行四邊形，
∴QD∥CP，QD=CP，
∴t=7-t，
解得：t=3.5，
即當(dāng)t=3.5時(shí)，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形；
（3）∵四邊形PCDQ構(gòu)成等腰梯形，
∴QP=CD，且QD≠CP，
∴PN²+QN²=QN²+（BC-AD）²=4+（7-4）²=25，
即（4-2t）²+4²=25，
解得：t=0.5或t=3.5（這時(shí)QD=CP，不合題意，舍去）
所以當(dāng)t=0.5時(shí)，四邊形PCDQ構(gòu)成等腰梯形；
（4）不存在．
理由：當(dāng)射線(xiàn)QN恰好將梯形ABCD的面積平分時(shí)，
AB•BN=$\frac{1}{2}$（QD+CN）•AB，
即4-t=$\frac{1}{2}$×（t+3）
解得：t=$\frac{5}{3}$，
當(dāng)射線(xiàn)QN恰好將梯形ABCD的周長(zhǎng)平分時(shí)，
2（AB+BN）=NC+CD+DQ+QN，
即2（4+4-t）=t+3+5+t+4，
解得：t=1，
兩個(gè)數(shù)值不相等，所以不存在某一時(shí)刻，使射線(xiàn)QN恰好將梯形ABCD的面積和周長(zhǎng)同時(shí)平分．

點(diǎn)評(píng) 此題綜合考查了梯形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，等腰梯形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，掌握基本性質(zhì)定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．