Question

15．已知：拋物線y=ax²+2x+c，對稱軸為直線x=-1，拋物線與y軸交于點C，與x軸交于A（-3，0）、B兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）直接寫出直線AC的解析式；
（3）若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的對稱軸為直線x=-1，可求出a的值，再將點A代入拋物線解析式中求出c值，由此即可得出拋物線解析式；
（2）根據(jù)拋物線的解析式找出點C的坐標(biāo)，結(jié)合點A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式；
（3）過點D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點M、N，設(shè)出點D的坐標(biāo)，找出點M、N的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式即可找出四邊形ABCD面積關(guān)于m的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．

解答 解：（1）∵對稱軸x=-$\frac{2}{2a}$=-1，
∴a=1，
∴拋物線解析式為y=x²+2x+c，
將點A（-3，0）代入y=x²+2x+c中，得：
0=9-6+c，解得：c=-3，
∴拋物線的解析式為y=x²+2x-3．
（2）當(dāng)x=0時，y=-3，
∴C（0，-3），
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3=b}\\{0=-3k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
直線AC的解析式為y=-x-3．
（3）過點D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點M、N，如圖所示．
設(shè)D（m，m²+2m-3），則M（m，-m-3），
∵S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=$\frac{1}{2}$•AB•OC+$\frac{1}{2}$•DM•（AN+BN）=6+$\frac{3}{2}$[（-m-3）-（m²+2m-3）]=-$\frac{3}{2}$m²-$\frac{9}{2}$m+6=-$\frac{3}{2}（x+\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{75}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴當(dāng)x=-$\frac{3}{2}$時，四邊形ABCD面積有最大值$\frac{75}{8}$．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）（2）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（3）找出四邊形ABCD面積關(guān)于m的關(guān)系式．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．