Question

5．小明所在的數(shù)學(xué)興趣小組研究一個課題“如何根據(jù)條件唯一的作出一個三角形”？研究后他們發(fā)現(xiàn)這與“如何作一個三角形與已知三角形全等”是一樣的，如果提供的條件可以證明兩個三角形全等，那么這些條件下作出的三角形肯定是唯一的．
（1）如果下列條件肯定可以作三角形，那么其中不唯一的是D．
A：已知兩條邊和夾角  B：已知三邊  C：已知兩角和夾邊 D：已知兩條邊和一邊的對角
（2）如果線段AB=4厘米，AC=5厘米，AD=3厘米，以AB、AC作為△ABC兩邊，AD為BC邊上的高，請你設(shè)計一個方案作出滿足如上條件的△ABC，并簡要說明理由；
（3）如果將（2）中AD改為BC邊上的角平分線，請你同樣設(shè)計一個方案作出滿足條件的△ABC，并簡要說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的判定即可判斷；
（2）先作以AC為斜邊，AD為一直角邊的直角三角形，再以A點為圓心，AB長為半徑畫弧，交直線CD于點B，此時點B有兩個，即滿足條件的三角形有兩個；
（3）作線段AE=5.4cm，以AE為底作等腰△ABE，使AB=BE=4cm，過點A作AF∥BE，在AF上截取AC=5cm，連接BC交AE于點D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)即可說明理由．

解答 解：（1）A、滿足SAS可以證出兩三角形全等；
B、滿足SSS可以證出兩三角形全等；
C、滿足ASA可以證出兩三角形全等；
D、根據(jù)SSA不能證出兩三角形全等．
故選D．

（2）滿足條件的三角形有兩個，
方案：如圖1，先作以AC為斜邊，AD為一直角邊的直角三角形，再以A點為圓心，AB長為半徑畫弧，交直線CD于點B（點B有兩個）
，
根據(jù)作圖步驟顯然AD=3、AC=5，AB=CD=4，且AD為BC邊上的高，故△ABC和△AB′C是符合要求的．

（3）方案：如圖2，作線段AE=5.4cm，以AE為底作等腰△ABE，使AB=BE=4cm，過點A作AF∥BE，在AF上截取AC=5cm，連接BC交AE于點D，
則△ABC即為所求作三角形，

理由：∵AB=BE=4，
∴∠BAD=∠BEA，
∵AF∥BE，
∴∠BED=∠CAD，
∴∠CAD=∠BAD，
又∵∠BDE=∠CDA，
∴△BDE∽△CDA，
∴$\frac{BE}{CA}=\frac{DE}{DA}$，
設(shè)AD=x，則DE=5.4-x，
∴$\frac{4}{5}=\frac{5.4-x}{x}$，
解得：x=3，
故△ABC為所求作三角形．

點評 本題主要考查全等三角形的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．