Question

13．下面是一個(gè)研究性解題案例，請補(bǔ)充完整：
如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=90°，∠ADC=135°
（1）探究發(fā)現(xiàn)
當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí)（點(diǎn)P不與A、D重合），連接PB，作PE⊥PB，交直線CD于點(diǎn)E，猜想線段PB和PE的數(shù)量關(guān)系：PB=PE．
（2）猜想論證
為了證明（1）中的猜想，小明嘗試在AB上截取BF=PD，連結(jié)PF，請你完成以下的證明．
（3）拓展探究
若點(diǎn)P為DA延長線上一點(diǎn)，其它條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請畫出相應(yīng)圖形，并直接給出判斷．

Answer 1

分析 （1）通過觀察和測量可猜想PB=PE；
（2）首先證明△APF為等腰直角三角形，于是得到∠AFP=45°，從而可求得∠BFP=∠PDE=135°，然后依據(jù)同角的余角相等可證明∠DPE=∠PBF，接下來依據(jù)ASA證明△PFB≌△EDP，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到PB=PE；
（3）延長AB到F使AF=PA，連結(jié)PF．題意可知△PFA為等腰直角三角形，于是可證明∠PFB=∠EDP=45°，然后依據(jù)同角的余角相等可證明∠PBA=∠EPD，接下來證明PD=BF，依據(jù)ASA可證明△PED≌△BPF，于是可得到PE=PB．

解答 解：（1）PB=PE．
（2）如圖1所示：

∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠A=90°．
∵AB=AD，BF=PD，
∴AF=AP．
∴∠AFP=45°．
∴∠BFP=135°．
∴∠BFP=∠PDE．
∵∠BPE=90°，
∴∠APB+∠DPE=90°．
又∵∠APB+∠PBF=90°，
∴∠DPE=∠PBF．
在△PFB和△EDP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFP=∠PDE}\\{BF=PD}\\{∠DPE=∠PBF}\end{array}\right.$，
∴△PFB≌△EDP．
∴PB=PE．
故答案為：PB=PE．
（3）成立．
理由：如圖2所示：延長AB到F使AF=PA，連結(jié)PF．

∵FA=PF，∠A=90°，
∴∠F=45°．
∵∠ADC=135°，
∴∠EDP=45°．
∴∠PFB=∠EDP．
∵∠EPD+DPB=90°，∠DPB+∠PBA=90°，
∴∠PBA=∠EPD．
∵AF=PA，AB=AD，
∴PD=BF．
在△PED和△BPF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PFB=∠EDP}\\{PD=BF}\\{∠PBA=∠EPD}\end{array}\right.$，
∴△PED≌△BPF．
∴PE=PB．

點(diǎn)評 本題主要考查的是主要考查的是四邊形，三角形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．