Question

20．如圖，點A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC=30°，試探究：四邊形AOBC是何種特殊四邊形，并給予證明．

Answer 1

分析 根據垂徑定理得出$\widehat{AC=\widehat{BC}}$，再利用圓周角定理得出∠BOC=60°，再根據等邊三角形的判定得出BC=BO=CO，進而得出AO=BO=AC=BC，即可證明結論．

解答 解：∵點A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∵∠ADC=30°，
∴∠AOC=∠BOC=2∠ADC=60°，
∴∠BOC的度數(shù)為60°，
∵$\widehat{AC=\widehat{BC}}$，
∴AC=BC，
∵AO=BO，
∵∠BOC的度數(shù)為60°，BO=CO
∴△BOC為等邊三角形，
∴BC=BO=CO，
∴AO=BO=AC=BC，
∴四邊形AOBC是菱形．

點評 此題主要考查了菱形的判定以及垂徑定理和圓周角定理等知識，根據垂徑定理得出$\widehat{AC=\widehat{BC}}$是解決問題的關鍵．