Question

9．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90°，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，M是BD的中點(diǎn)，MN⊥AC．
（1）求證：AN=NC；
（2）當(dāng)MN=3cm，BD=10cm時(shí)，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半判定AM=MC=$\frac{1}{2}$BD，從而推知N點(diǎn)是AC邊上的中點(diǎn)，所以MN是AC的中垂線；
（2）在Rt△AMN中，利用勾股定理求得AN的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：連接AM、MC．
在△DCB和△BAD中，∠DAB=∠DCB=90°，M是邊BD的中點(diǎn)，
∴AM=MC=$\frac{1}{2}$BD，
∵M(jìn)N⊥AC，
∴AN=CN；

（2）解：∵BD=10cm，M、N分別是邊BD、AC的中點(diǎn)．
∴AM=$\frac{1}{2}$BD=5cm，
∵M(jìn)N=3cm，
∴AN=$\sqrt{A{M}^{2}-M{N}^{2}}$=4cm．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了直角三角形斜邊上的中線、勾股定理．解題時(shí)，通過作輔助線AM、MC構(gòu)建了直角三角形斜邊上的中線，然后利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”來解答問題．