Question

15．如圖，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，OA、OC分別在x軸與y軸上，D為OA上一點，且CD=AD．
（1）求點D的坐標；
（2）若經(jīng)過B、C、D三點的拋物線與x軸的另一個交點為E，請直接寫出點E的坐標；
（3）在（2）中的拋物線上位于x軸上方的部分，是否存在一點P，使△PBC的面積等于四邊形DCBE的面積？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設OD=x，則AD=CD=8-x，在Rt△COD中由OC²+OD²=CD²列方程求解可得；
（2）根據(jù)點（0，-4）、B（8，-4）、D（3，0）利用待定系數(shù)法求出解析式后，令y=0解之可得；
（3）由拋物線的對稱性可知．以拋物線頂點為P的△PBC面積為最大，求出四邊形DCBE的面積，比較后即可得出答案．

解答 解：（1）設OD=x，則AD=CD=8-x，
在Rt△COD中，∵OC²+OD²=CD²，
∴4²+x²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴點D的坐標為（3，0）；

（2）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
將點C（0，-4）、B（8，-4）、D（3，0）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{c=-4}\\{64a+8b+c=-4}\\{9a+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{15}}\\{b=\frac{32}{15}}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{4}{15}$x²+$\frac{32}{15}$x-4，
當y=0時，-$\frac{4}{15}$x²+$\frac{32}{15}$x-4=0，
解得：x₁=3、x₂=5，
∴點E的坐標為（5，0）．

（3）在拋物線上不存在一點P，使△PBC的面積等于矩形ABCD的面積．
理由是：由拋物線的對稱性可知．以拋物線頂點為P的△PBC面積為最大．
由y=-$\frac{4}{15}$x²+$\frac{32}{15}$x+4=-$\frac{4}{15}$（x-4）²+$\frac{4}{15}$可得，頂點坐標為（4，$\frac{4}{15}$）．
則△PBC高的最大值為4+$\frac{4}{15}$=$\frac{64}{15}$．
∴△PBC的最大面積為$\frac{1}{2}$×8×$\frac{64}{15}$=$\frac{256}{15}$，
∵四邊形DCBE的面積為$\frac{1}{2}$×（2+8）×4=20，
∴△PBC的最大面積小于四邊形DCBE的面積．
故在x軸上方且在拋物線上不存在一點P，使△PBC的面積等于矩形ABCD的面積．

點評 此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用已知得出以拋物線頂點為P的△PBC面積為最大求出是解決問題的關(guān)鍵．