Question

9．如圖，P是y軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，坐標(biāo)為（0，t），其中-4＜t＜0，以P為圓心，4為半徑作⊙P，交y軸于A，B，交x軸正半軸于C，連接PC，BC，過(guò)點(diǎn)B作平行于PC的直線交x軸于D，交⊙P于E．
（1）當(dāng)t=-3時(shí)，求OC的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)△PBC與△CBD相似時(shí)，求t的值；
（3）當(dāng)P在y軸負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
①試問(wèn)$\frac{BE}{OP}$的值是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如不發(fā)生變化，求出這個(gè)比值；
②求BE•ED的最大值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△OPC中，根據(jù)OC=$\sqrt{P{C}^{2}-O{P}^{2}}$計(jì)算即可．
（2）只要證明∠OCP=30°即可解決問(wèn)題．
（3）①$\frac{BE}{OP}$是定值．由△CPO∽△PBH，推出$\frac{OP}{BH}$=$\frac{PC}{PB}$，可得$\frac{-t}{BH}$=$\frac{4}{4}$，推出BH=-t，BE=-2t，由此即可解決問(wèn)題．②由PC∥BD，推出$\frac{PC}{BD}$=$\frac{OP}{OB}$，可得$\frac{4}{BD}$=$\frac{-t}{-t+4}$，
推出BD=$\frac{4（t-4）}{t}$，DE=BD-BE=$\frac{4（t-4）}{t}$-（-2t）=$\frac{4（t-4）}{t}$+2t，推出BE•DE=-2t[$\frac{4（t-4）}{t}$+2t]=-4（t+1）²+36，由此即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖1中，

∵P（0，-3），
∴OP=3，PC=4，
在Rt△OPC中，OC=$\sqrt{P{C}^{2}-O{P}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$．

（2）如圖2中，

∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC，
∵△PBC與△CBD相似，
∴∠CBD=∠CDB=∠PCB=∠PBC，
∵PC∥BD，
∴∠OCP=∠CDB，
∴∠OCP=∠PCB=∠PBC，
∴∠OCP=30°，
∵PC=4，
∴OP=$\frac{1}{2}$PC=2，
∴t=-2．

（3）①$\frac{BE}{OP}$是定值．理由如下：
如圖3中，作PH⊥BD于H．

∵PH⊥BE，
∴BH=HE，
∵PC∥BD，
∴PH⊥PC，
∴∠CPH=90°，
易證△CPO∽△PBH，
∴$\frac{OP}{BH}$=$\frac{PC}{PB}$，
∴$\frac{-t}{BH}$=$\frac{4}{4}$，
∴BH=-t，
∴BE=-2t，
∴$\frac{BE}{OP}$=$\frac{-2t}{-t}$=2．
∴$\frac{BE}{OP}$是定值．

②∵PC∥BD，
∴$\frac{PC}{BD}$=$\frac{OP}{OB}$，
∴$\frac{4}{BD}$=$\frac{-t}{-t+4}$，

∴BD=$\frac{4（t-4）}{t}$，
∴DE=BD-BE=$\frac{4（t-4）}{t}$-（-2t）=$\frac{4（t-4）}{t}$+2t，
∴BE•DE=-2t[$\frac{4（t-4）}{t}$+2t]=-4（t+1）²+36．
∵-4＜0，
∴t=-1時(shí)，BE•DE定值最大，最大值為36．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、二次函數(shù)的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．