Question

4．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC上移動(dòng)，F(xiàn)A平分∠DAE，AF交CD于F，連接EF．求證：BE+DF=AE．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)CB到G，使BG=DF，連接AG，易證△ADF≌△ABG，得∠5=∠G，∠1=∠3，進(jìn)而證明∠FAB=∠EAG，進(jìn)而證明AE=EB+BG=EB+DF．

解答 證明：延長(zhǎng)CB到G，使BG=DF，連接AG（如圖），

∵AD=AB，∠D=∠ABG=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABG=90°，
在△ADF和△ABG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠D=∠ABG}\\{DF=BG}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴∠5=∠G，∠1=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴∠2+∠4=∠3+∠4，
即∠FAB=∠EAG，
∵CD∥AB，
∴∠5=∠FAB=∠EAG，
∴∠EAG=∠G，
∴AE=EB+BG=EB+DF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形各邊長(zhǎng)相等、各內(nèi)角為直角的性質(zhì)，全等三角形的判定，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證∠EAG=∠G是解題的關(guān)鍵．