Question

2．在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=6cm，D、E、F分別為AB、AC邊上的中點(diǎn)，若P為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQ⊥AB，交AC于Q，以PQ為一邊，在點(diǎn)A的異側(cè)作正方形PQMN，記正方形PQMN與矩形EDBF的公共部分的面積為y．
（1）如圖，當(dāng)AP=5cm時(shí)，求y的值；
（2）設(shè)AP=xcm，試用含x（cm）的代數(shù)式表示y（cm²）；
（3）當(dāng)y=3cm²時(shí)，試確定點(diǎn)P的位置．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)AP的長，求出PQ的值，然后看看正方形與矩形是否重合，若重合求出重合部分的線段的長，然后根據(jù)矩形的面積計(jì)算公式進(jìn)行求解即可．
（2）要分四種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)N在D點(diǎn)或D點(diǎn)左側(cè)時(shí)，當(dāng)正方形PQMN的邊MN與矩形EDBF的邊ED重合時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)可得出x=3，即0＜x≤3時(shí)，此時(shí)正方形與矩形沒有重合，因此y=0；
②當(dāng)N在D點(diǎn)右側(cè)，而P點(diǎn)在D點(diǎn)左側(cè)或與D點(diǎn)重合時(shí)，即4＜x≤6，此時(shí)正方形與矩形重合的面積應(yīng)該是以DN為長，NM為寬的矩形，DN=PN-PD=PN-（AD-AP）=x-（6-$\frac{1}{2}$x）=$\frac{3}{2}$x-6．而NM=PQ=$\frac{1}{2}$x，因此重合部分的面積應(yīng)該是y=（$\frac{3}{2}$x-6）×$\frac{1}{2}$x=$\frac{3}{4}$x²-3x；
③當(dāng)P在D點(diǎn)右側(cè)，而N點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)或與B點(diǎn)重合時(shí)，即6＜x≤8時(shí)，此時(shí)正方形重合部分的面積應(yīng)該是以正方形邊長為長，DE為寬的矩形的面積，PN=$\frac{1}{2}$x，DE=3，因此此時(shí)重合部分的面積是y=$\frac{1}{2}$x×3=$\frac{3}{2}$x；
④當(dāng)P在B左側(cè)時(shí)，而N點(diǎn)在AB延長線上時(shí)，即8＜x＜12時(shí)，此時(shí)重合部分的面積應(yīng)該是以DE長為寬，PA長為長的矩形的面積．BP=AB-AP=12-x，BF=DE=3，因此此時(shí)重合部分的面積應(yīng)該是y=（12-x）×3=36-3x．
（3）將y=3代入（2）的式子中，看看求出的x哪個(gè)符合條件即可．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=6cm，AB=12cm，
∴tanA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∵D是AB中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線，
∴AD=BD=6cm，DE=3cm，
∴Rt△APQ中，AP=5cm，
∴PQ=AP•tanA=5×$\frac{1}{2}$=2.5cm，
∴DN=AN-AD=AP+PN-AD=5+2.5-6=1.5，
∴重合部分的面積應(yīng)該是y=DN×MN=2.5×1.5=3.75cm²；

（2）設(shè)AP=xcm，則：
①當(dāng)N在D點(diǎn)或D點(diǎn)左側(cè)時(shí)，當(dāng)正方形PQMN的邊MN與矩形EDBF的邊ED重合時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)可得出x=3，即0＜x≤2時(shí)，此時(shí)正方形與矩形沒有重合，因此y=0；
②當(dāng)N在D點(diǎn)右側(cè)，而P點(diǎn)在D點(diǎn)左側(cè)或與D點(diǎn)重合時(shí)，即4＜x≤6，此時(shí)正方形與矩形重合的面積應(yīng)該是以DN為長，NM為寬的矩形，DN=PN-PD=PN-（AD-AP）=x-（6-$\frac{1}{2}$x）=$\frac{3}{2}$x-6．而NM=PQ=$\frac{1}{2}$x，因此重合部分的面積應(yīng)該是y=（$\frac{3}{2}$x-6）×$\frac{1}{2}$x=$\frac{3}{4}$x²-3x；
③當(dāng)P在D點(diǎn)右側(cè)，而N點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)或與B點(diǎn)重合時(shí)，即6＜x≤8時(shí)，此時(shí)正方形重合部分的面積應(yīng)該是以正方形邊長為長，DE為寬的矩形的面積，PN=$\frac{1}{2}$x，DE=3，因此此時(shí)重合部分的面積是y=$\frac{1}{2}$x×3=$\frac{3}{2}$x；
④當(dāng)P在B左側(cè)時(shí)，而N點(diǎn)在AB延長線上時(shí)，即8＜x＜12時(shí)，此時(shí)重合部分的面積應(yīng)該是以DE長為寬，PA長為長的矩形的面積．BP=AB-AP=12-x，BF=DE=3，因此此時(shí)重合部分的面積應(yīng)該是y=（12-x）×3=36-3x；

（3）當(dāng)0＜x≤4，y=3，即$\frac{3}{4}$x²-3x=3，解得：x=2+2$\sqrt{2}$，（負(fù)值舍去），
當(dāng)6＜x≤8，y=3，即3=$\frac{3}{2}$x，解得：x=2，（不合題意舍去）
當(dāng)8＜x＜12，y=3，即36-3x=3，解得x=11．
∴當(dāng)x=2+2$\sqrt{2}$，或行11時(shí)，y=3．

點(diǎn)評 本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，中位線定理以及解直角三角形的應(yīng)用等知識點(diǎn)，要注意（2）（3）中，正方形的位置不同時(shí)，函數(shù)解析式是不同的，要分類討論，不要漏解．