Question

11．已知邊長為1的正七邊形ABCDEFG中，對角線AD，BG的長分別為a，b（a≠b），求證：（a+b）²（a-b）=ab²．

Answer 1

分析 連結(jié)BD、EG、BE、DG，則BD=EG=GB=b，DG=BE=DA=a，DE=AB=AG=1，在四邊形ABDG中，利用托勒密協(xié)定理可得ab=a+b，同理在四邊形BDEG中，可得b=a²-b²=（a+b）（a-b），可得結(jié)論．

解答 證明：連結(jié)BD、EG、BE、DG，則BD=EG=GB=b，DG=BE=DA=a，DE=AB=AG=1，在四邊形ABDG中，由托勒密協(xié)定理，得AD•BG=AB•DG+BD•AG，
即ab=a+b          ①，
同理在四邊形BDEG中，得BE•DG=DE•BG+BD•GE，
即a²=b+b²，
∴b=a²-b²=（a+b）（a-b）    ②，
①×②，得ab²=（a+b）²（a-b）．

點評 本題主要考查了正多邊形和圓，利用“在四邊形中，兩對角線的乘積是兩組對邊乘積的和”是解答此題的關(guān)鍵．