Question

13．如圖．拋物線y=-x²+2x+3交x軸于點A（a，0），B（b，0），交y軸于點C，拋物線的頂點為D，點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為E，點G、F分別在x軸、y軸上，則四邊形EDFG的周長的最小值為（　�。�

• A． 5+$\sqrt{2}$+$\sqrt{7}$
• B． 5+$\sqrt{2}$+$\sqrt{13}$
• C． $\sqrt{2}$+$\sqrt{13}$+$\sqrt{17}$
• D． $\sqrt{2}$+$\sqrt{58}$

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線解析式求得點D（1，4）、點E（2，3），作點D關(guān)于y軸的對稱點D′（-1，4）、作點E關(guān)于x軸的對稱點E′（2，-3），從而得四邊形EDFG的周長=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，當(dāng)點D′、F、G、E′四點共線時，周長最短，據(jù)此根據(jù)兩點間的距離公式可得答案．

解答 解：如圖，

在y=-x²+2x+3中，當(dāng)x=0時，y=3，即點C（0，3），
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴對稱軸為x=1，頂點D（1，4），
則點C關(guān)于對稱軸的對稱點E的坐標(biāo)為（2，3），
作點D關(guān)于y軸的對稱點D′（-1，4），作點E關(guān)于x軸的對稱點E′（2，-3），
連接D′、E′，D′E′與x軸的交點G、與y軸的交點F即為使四邊形EDFG的周長最小的點，
四邊形EDFG的周長=DE+DF+FG+GE
=DE+D′F+FG+GE′
=DE+D′E′
=$\sqrt{（1-2）^{2}+（4-3）^{2}}$+$\sqrt{（-1-2）^{2}+（4+3）^{2}}$
=$\sqrt{2}$+$\sqrt{58}$，
∴四邊形EDFG的周長的最小值為$\sqrt{2}$+$\sqrt{58}$，
故選：D．

點評 本題主要考查拋物線與x軸的交點、軸對稱-最短路線問題，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出點F、G的位置是解題的關(guān)鍵．