Question

3．如圖，直線y=kx-3與x軸、y軸分別相交于B、C兩點，且OC=2OB
（1）求B點的坐標和k的值．
（2）若點A（x，y）是直線y=kx-3上在第一象限內的一個動點，當A 在運動的過程中，試寫出△AOB的面積S與x的函數(shù)關系式，（不要求寫出自變量的取值范圍）．
（3）探究：在（2）的條件下
①當A運動到什么位置時，△ABO的面積為$\frac{9}{4}$，并說明理由．
②在①成立的情況下，x軸上是否存在一點P，使△AOP是等腰三角形？若存在，請直接寫出滿足條件的所有P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先確定出OC，進而得出OB，即可得出點B坐標，將點B的坐標代入直線解析式中即可得出k；
（2）直接利用三角形的面積公式即可得出結論；
（3）設出點P的坐標，進而利用兩點間的距離公式求出OA²，OP²，AP²，分三種情況用兩邊相等建立方程求解即可．

解答 解：（1）在y=kx-3中，當x=0，得y=-3
∴OC=3，
∵OC=2OB，
∴OB=1.5
∴B（1.5，0）
把x=1.5，y=0代入y=kx-3中
∴k=2，

（2）由（1）知OB=1.5，點A在直線y=2x-3上，
S=$\frac{1}{2}$OB•|y_A|
=$\frac{1}{2}$×1.5×（2x-3）
=$\frac{3}{2}$x-$\frac{9}{4}$（x＞0）

（3）①由（2）知S=$\frac{3}{2}$x-$\frac{9}{4}$，
∵△ABO的面積為$\frac{9}{4}$，
$\frac{3}{2}$x-$\frac{9}{4}$=$\frac{9}{4}$    
∴x=3，
∴y=2x-3=3，
∴A（3，3）
當A運動到（3，3）時△AOB面積為$\frac{9}{4}$；
②由（1）知，A（3，3），
設點P（m，0），
∴OA²=18，OP²=m²，AP²=（m-3）²+9
∵△AOP為等腰三角形，（如圖）

∴Ⅰ、當OA=OP時，OA²=OP²，
即：18=m²，
∴m=±3$\sqrt{2}$，
∴P₁（3$\sqrt{2}$，0），P₂（-3$\sqrt{2}$，0）
Ⅱ、當OA=AP時，OA²=AP²，
即：18=（m-3）²+9，
∴m=0（此時和點A重合，所以舍去）或m=6，
∴P₃（6，0）
Ⅲ、當OP=AP時，OP²=AP²，
即：m²=（m-3）²+9，
∴m=3，
∴P₄（3，0）
即：滿足條件的點P的坐標為（-3$\sqrt{2}$，0）、（3，0）、（3$\sqrt{2}$，0）、（6，0）．

點評 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形的面積公式，等腰三角形的性質，解（1）的關鍵是求出OC，解（3）的關鍵是用方程的思想解決問題，是一道基礎題目．