Question

20．為積極支持鄂州市創(chuàng)建國家衛(wèi)生城市工作，某商家計劃從廠家采購A，B兩種清潔產(chǎn)品共20件，產(chǎn)品的采購單價（元/件）是采購數(shù)量（件）的相關(guān)信息如下表所示．

采購數(shù)量（件）	2	4	6	…
A產(chǎn)品單價（元）	1460	1420	1380	…
B產(chǎn)品單價（元）	1280	1260	1240	…

（1）設(shè)B產(chǎn)品的采購數(shù)量為x（件），采購單價為y₁（元/件），求y₁與x的關(guān)系式；
（2）經(jīng)商家與廠家協(xié)商，采購A產(chǎn)品的數(shù)量不少于B產(chǎn)品數(shù)量的$\frac{11}{9}$，且B產(chǎn)品采購單價不高于1250元，求該商家共有幾種進貨方案？
（3）該商家分別以1760元/件和1700元/件的銷售單價售出A，B兩種產(chǎn)品，且全部售完，在（2）的條件下，求采購A種產(chǎn)品多少件時總利潤最大？并求最大利潤．

Answer 1

分析 （1）設(shè)y₁與x的關(guān)系式y(tǒng)₁=kx+b，由表列出k和b的二元一次方程，求出k和b的值，函數(shù)關(guān)系式即可求出；
（2）首先根據(jù)題意求出x的取值范圍，結(jié)合x為整數(shù)，即可判斷出商家的幾種進貨方案；
（3）令總利潤為W，根據(jù)利潤=售價-成本列出W與x的函數(shù)關(guān)系式W=30x²-660x+13200，把一般式寫成頂點坐標式，求出二次函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）設(shè)y₁=kx+b，
根據(jù)題意，得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=1280}\\{4k+b=1260}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-10}\\{b=1300}\end{array}\right.$，
∴y₁=-10x+1300；

（2）根據(jù)題意，得：$\left\{\begin{array}{l}{20-x≥\frac{11}{9}x}\\{-10x+1300≤1250}\end{array}\right.$，
解得：5≤x≤9，
∵x為整數(shù)，
∴x可取的整數(shù)值為5、6、7、8、9，
∴該商家共有5種進貨方案．

（3）設(shè)A產(chǎn)品的銷售單價y₂與銷售數(shù)量a之間的函數(shù)關(guān)系式為y₂=ma+n，
由題意，得：$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=1460}\\{4m+n=1420}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-20}\\{n=1500}\end{array}\right.$，
則y₂=-20a+1500，
∵a=20-x，
∴y₂=-20（20-x）+1500=20x+1100，
令總利潤為W，
則W=（1760-y₂）（20-x）+（1700-y₁）x
=（1760-20x-1100）（20-x）+（1700+10x-1300）x
=30x²-660x+13200
=30（x-11）²+9570，
∵當x＜11時，W隨x的增大而減小，
∴當x=5時，W取得最大值，最大值為30×36+9570=10650，
此時A產(chǎn)品的銷售數(shù)量20-x=15，
答：采購A種產(chǎn)品15件時總利潤最大，最大利潤為10650元．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確銷售單價與銷售件數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式，會表達單件的利潤及總利潤．