Question

7．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，AE平分∠BAC，且∠ABC＞∠C．
求證：∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠ABC-∠C）．

Answer 1

分析 先根據(jù)外角性質(zhì)得：∠ABC=∠D+∠DAB，則∠DAB=∠ABC-∠D=∠ABC-90°，再表示出∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，由三角形的內(nèi)角和定理可得：∠BAE=90°-$\frac{1}{2}$∠ABC-$\frac{1}{2}$∠C，最后利用角的和：∠DAE=∠DAB+∠BAE，代入可得結(jié)論．

解答 證明：∵AD⊥BC，
∴∠D=90°，
∵∠ABC是△ABD的外角，
∴∠DAB=∠ABC-∠D=∠ABC-90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，
在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠C，
∴∠BAE=90°-$\frac{1}{2}$∠ABC-$\frac{1}{2}$∠C，
∵∠DAE=∠DAB+∠BAE，
∴∠DAE=∠ABC-90°+90°-$\frac{1}{2}$∠ABC-$\frac{1}{2}$∠C=$\frac{1}{2}$∠ABC-$\frac{1}{2}$∠C，
即：∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠ABC-∠C）．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)角和、外角性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，本題有難度，運用幾個角和等式的互換，這就需要熟練掌握內(nèi)角和定理及三角形的外角性質(zhì)．