Question

18．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一點(diǎn)，BE交AC于點(diǎn)F，連結(jié)DF．
（1）求證：∠AFD=∠CFE；
（2）若AB∥CD，試說(shuō)明四邊形ABCD是菱形；
（3）在（2）的條件下，試確定E點(diǎn)的位置，使得∠EFD=∠BCD，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)SSS證明△ABC≌△ADC得∠BAC=∠DAC，則△ABF≌△ADF，再由對(duì)頂角相等可得結(jié)論；
（2）根據(jù)平行得內(nèi)錯(cuò)角∠BAC=∠ACD，再由（1）的結(jié)論∠BAC=∠DAC，可證得AD=CD，則四邊相等，四邊形ABCD是菱形；
（3）當(dāng)EB⊥CD時(shí)，∠EFD=∠BCD，理由是：證明△BCF≌△DCF，得∠CBF=∠CDF，則直角△EFD和直角△AEC有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，則∠EFD=∠BCD．

解答 證明：（1）在△ABC和△ADC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{BC=DC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
又∵AF=AF
∴△ABF≌△ADF，
∴∠AFD=∠AFB，
∵∠AFB=∠CFE，
∴∠AFD=∠CFE；
（2）∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
又∵∠BAC=∠DAC，
∴∠CAD=∠ACD，
∴AD=CD，
∵AB=AD，CB=CD，
∴AB=CB=CD=AD，
∴四邊形ABCD是菱形；
（3）解：當(dāng)EB⊥CD時(shí)，∠EFD=∠BCD，
理由：∵四邊形ABCD為菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，
∴△BCF≌△DCF，
∴∠CBF=∠CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°，
∴∠EFD=∠BCD．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，考查了菱形、全等三角形的性質(zhì)和判定；菱形常用的判定方法是：四邊相等四邊形是菱形．