Question

8．如圖，矩形ABCD的對角線交于O點，已知∠ABD=60°，過點O作EO⊥BD交BA延長線于點E，交AD于點N，連接ED、EC，EC分別交AD、BD于點F和點M．
（1）求證：四邊形EACD是平行四邊形；
（2）求$\frac{OM}{MD}$的值；
（3）請連接BN，在不增加新點與線段的前提下，圖中現(xiàn)有三角形中，與△NOB的面積相等的三角形（注：不含△NOB）共有5個．

Answer 1

分析 （1）先判定△BDE是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB=AE，最后根據(jù)AE=CD，AE∥CD，得出四邊形EACD是平行四邊形；
（2）根據(jù)平行四邊形ACDE中DE∥CO，判定△COM∽△EDM，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出$\frac{OM}{DM}$=$\frac{CO}{ED}$，進(jìn)而求得$\frac{OM}{MD}$的值；
（3）先根據(jù)等邊三角形的軸對稱性質(zhì)得出，△NOB與△NOD、△NAB、△NAE的面積均相等，再根據(jù)MN∥DE以及CO∥DE，運用同底等高的三角形面積相等，分別得出△EOM、△DCM與△NOB面積相等即可．

解答 解：（1）∵矩形ABCD中，BO=DO，EO⊥BD，
∴EO垂直平分BD，
∴EB=ED，
又∵∠ABD=60°，
∴△BDE是等邊三角形，
又∵DA⊥BE，
∴AB=AE，
∵矩形ABCD中，CD∥BA，CD=AB，
∴AE=CD，AE∥CD，
∴四邊形EACD是平行四邊形；

（2）∵四邊形EACD是平行四邊形，
∴DE=AC，DE∥CO，
∴△COM∽△EDM，
∴$\frac{OM}{DM}$=$\frac{CO}{ED}$，
又∵CO=$\frac{1}{2}$AC，DE=AC，
∴CO=$\frac{1}{2}$DE，
∴$\frac{OM}{MD}$=$\frac{1}{2}$；

（3）連接BN，則
由等邊△BDE的軸對稱性可得，△NOB與△NOD、△NAB、△NAE的面積均相等，
由（2）可得，$\frac{OM}{MD}$=$\frac{1}{2}$，
同理可得，$\frac{ON}{NE}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OM}{OD}=\frac{ON}{OE}=\frac{1}{3}$，
∴MN∥DE，
∴△MNE與△MND的面積相等，
∴△FNE與△FMD的面積相等，
∴△EOM與△DON的面積相等，
由CO∥DE可得，△OCE與△COD的面積相等，
∴△EOM與△DCM的面積相等，
綜上，與△NOB面積相等的三角形有：△NOD、△NAB、△NAE、△EOM、△DCM這5個．
故答案為：5

點評 本題主要考查了四邊形的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的判定與平行四邊形的判定方法．在解題時注意：如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊，據(jù)此可以得到同底等高的三角形面積相等．