Question

1．（1）問題發(fā)現(xiàn)
如圖1，△ABC和△DCE都是等邊三角形，點(diǎn)B、D、E在同一直線上，連接AE．
填空：
①∠AEC的度數(shù)為120°；
②線段AE、BD之間的數(shù)量關(guān)系為AE=BD．
（2）拓展探究
如圖2，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)B、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接AE．試求∠AEB的度數(shù)及判斷線段CM、AE、BM之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）解決問題
如圖3，在正方形ABCD中，CD=2，點(diǎn)P在以AC為直徑的半圓上，AP=1，①∠DPC=45°°； ②請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D到PC的距離為$\frac{1+\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）①利用等邊三角形的性質(zhì)，易得CE=CD，CA=CB，∠ECA=60°-∠ACD，∠DCB=60°-∠ACD，再利用全等三角形的判定證得△ECA≌△DCB，利用全等三角形的性質(zhì)與外角的性質(zhì)得出結(jié)論；②利用全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；
（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)易得∠ECA=∠DCB，再利用全等三角形的判定證得△ECA≌△DCB，利用全等三角形的性質(zhì)與外角的性質(zhì)得出結(jié)論；
（3）①四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)P在以AC為直徑的半圓上，易得A，P，C，D四點(diǎn)共圓，得出∠DPC=∠DAC=45°；
②由勾股定理得PC=$\sqrt{{AC}^{2}{-AP}^{2}}$=$\sqrt{7}$，在利用等腰直角三角形得出DM=PM，進(jìn)而利用勾股定理得出點(diǎn)D到PC的距離．

解答 解：（1）①∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，
∴CE=CD，CA=CB，∠ECA=60°-∠ACD，∠DCB=60°-∠ACD，
在△ECA與△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=DC}\\{∠ECA=∠DCB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ECA≌△DCB，
∴∠AEC=∠BDC=∠CED+∠CDE=60°+60°=120°，
故答案為：120°；
②∵△ECA≌△DCB，
∴AE=BD，
故答案為：AE=BD；

（2）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，
∴∠ECA=90°-∠ACD，∠DCB=90°-∠ACD，
∴∠ECA=∠DCB，
在△ECA與△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CD}\\{∠ECA=∠DCB}\\{CA=CB}\end{array}\right.$，
∴△ECA≌△DCB，
∴∠AEC=∠BDC=135°，BD=AE，
∴∠AEB=∠AEC-∠BEC=135°-45°=90°，
∵△DCE都是等腰直角三角形，CM為△DCE中DE邊上的高，
∴CM=MD，
∵BM=BD+DM，
∴BM=AE+CM；

（3）①四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)P在以AC為直徑的半圓上，
∴∠APC+∠ADC=90°+90°=180°，
∴A，P，C，D四點(diǎn)共圓，
∴∠DPC=∠DAC=45°，
故答案為：45°；
 ②過點(diǎn)D作DM⊥PC，垂足為M，
∵在正方形ABCD中，CD=2，點(diǎn)P在以AC為直徑的半圓上，AP=1，
∴AC=2$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{{AC}^{2}{-AP}^{2}}$=$\sqrt{8-1}$=$\sqrt{7}$，
∵∠DPC=45°，
∴DM=PM，
設(shè)DM=PM=x，則MC=$\sqrt{7}$-x，
在Rt△DMC中，
DM²+MC²=DC²，
則x²+（$\sqrt{7}$-x）²=2²，
整理得：2x²-2$\sqrt{7}$x+3=0，
解得；x₁=$\frac{1+\sqrt{7}}{2}$，x₂=$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$（不合題意舍去），
即點(diǎn)D到PC的距離為：$\frac{1+\sqrt{7}}{2}$．
故答案為：$\frac{{1+\sqrt{7}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定等，認(rèn)真識(shí)圖，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．