Question

8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上
一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．
（1）求證：CE=AD；
（2）當D在AB中點時．
①求證：四邊形BECD是菱形；
②當∠A為多少度時，四邊形BECD是正方形？說明理由．

Answer 1

分析 （1）證出AC∥DE，得出四邊形ADEC是平行四邊形，即可得出結論；
（2）①先證出BD=CE，得出四邊形BECD是平行四邊形，再由直角三角形斜邊上的中線性質得出CD=$\frac{1}{2}$AB=BD，即可得出四邊形BECD是菱形；
②當∠A=45°時，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性質得出CD⊥AB，即可得出四邊形BECD是正方形．

解答 （1）證明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC∥DE．
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四邊形ADEC是平行四邊形，
∴CE=AD；

（2）①證明：∵D為AB中點，
∴AD=BD．
∵CE=AD，
∴BD=CE．
∵BD∥CE，
∴四邊形BECD是平行四邊形．
∵∠ACB=90°，D為AB中點，
∴CD=BD，
∴四邊形BECD是菱形；
②當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形．
理由如下：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=∠A=45°，
∴AC=BC．
∵D為BA中點，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°．
∵四邊形BECD是菱形，∠CDB=90°，
∴四邊形BECD是正方形．

點評 本題考查了平行四邊形的判定與性質、正方形的判定、菱形的判定、直角三角形斜邊上的中線性質；熟練掌握平行四邊形的判定與性質，并能進行推理論證是解決問題的關鍵．