Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象在第二象限交于點(diǎn)C，CE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，sin∠ABO=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，OB=2，OE=1．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)D是反比例函數(shù)圖象在第四象限上的點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥y軸，垂足為點(diǎn)F，連接OD、BF，如果S_△BAF=4S_△DFO，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由邊的關(guān)系可得出BE=6，通過解直角三角形可得出CE=3，結(jié)合函數(shù)圖象即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可求出反比例函數(shù)系數(shù)m，由此即可得出結(jié)論；
（2）由點(diǎn)D在反比例函數(shù)在第四象限的圖象上，設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)為（n，-$\frac{3}{2n}$）（n＞0）．通過解直角三角形求出線段OA的長度，再利用三角形的面積公式利用含n的代數(shù)式表示出S_△BAF，根據(jù)點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖形上利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可得出S_△DFO的值，結(jié)合題意給出的兩三角形的面積間的關(guān)系即可得出關(guān)于n的分式方程，解方程，即可得出n值，從而得出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵OB=2，OE=1，
∴BE=OB+OE=3．
∵CE⊥x軸，
∴∠CEB=90°．
在Rt△BEC中，∠CEB=90°，BE=3，sin∠ABO=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，
∴CE=BE•tan∠ABO=3×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
結(jié)合函數(shù)圖象可知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，$\frac{3}{2}$）．
∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=-1×$\frac{3}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{3}{2x}$．
（2）∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=-$\frac{3}{2}$x第四象限的圖象上，
∴設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（n，-$\frac{3}{2n}$）（n＞0）．
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=4，tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，
∴OA=OB•tan∠ABO=2×$\frac{1}{2}$=1．
∵S_△BAF=$\frac{1}{2}$AF•OB=$\frac{1}{2}$（OA+OF）•OB=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{3}{2n}$）×2=1+$\frac{3}{2n}$．
∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=-$\frac{3}{2n}$第四象限的圖象上，
∴S_△DFO=$\frac{1}{2}$×|-$\frac{3}{2}$|=$\frac{3}{4}$．
∵S_△BAF=4S_△DFO，
∴1+$\frac{3}{2n}$=4×$\frac{3}{2}$，
解得：n=$\frac{3}{10}$，
經(jīng)驗(yàn)證，n=$\frac{3}{10}$是分式方程的解，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{3}{10}$，-2）．

點(diǎn)評 本題考查了解直角三角形、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積公式以及反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）根據(jù)三角形的面積間的關(guān)系找出關(guān)于n的分式方程．本題屬于中檔題，難度不大，但較繁瑣，解決該題型題目時，找出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出反比例函數(shù)系數(shù)是關(guān)鍵．