Question

15．如圖，直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=$\frac{m}{4}$x-m（m≠0，m為常數(shù)），點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，tan∠OAB=$\frac{3}{4}$，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，以D（-6，0）為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在x軸上有點(diǎn)P，以點(diǎn)的C，O，P為頂點(diǎn)的△COP與△ABO相似，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）動(dòng)點(diǎn)Q在拋物線上，當(dāng)點(diǎn)Q到直線AB的距離最小時(shí)，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及最小距離．

Answer 1

分析 （1）首先求出A、B、C坐標(biāo)，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+6）²，把C（0，3）代入求出a即可．
（2）分兩種情形討論，①當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)O左邊，滿足$\frac{OP}{OA}$=$\frac{OC}{OB}$時(shí)，△POC∽△AOB，②當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)O左邊，滿足$\frac{OP}{OB}$=$\frac{OC}{OA}$時(shí)，△POC∽△BOA，
求出P₁，P₂后，再求出P₃、P₄即可．
（3）如圖2中，設(shè)Q[n，$\frac{1}{12}$（n+6）²]，作QN⊥AB于N，QM∥BC交AB于M，則M（n，$\frac{3}{4}$n-3），首先說明△MQN的三個(gè)內(nèi)角是固定不變的，欲求QN的最小值，只要求出QM的最小值即可，再根據(jù)QN的最小值=QM•cos∠MQN=QM•cos∠OAB計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=$\frac{m}{4}$x-m，
∴A（4，0），B（0，-m），
在Rt△AOB中，∵OA=4，tan∠OAB=$\frac{3}{4}$=$\frac{OB}{OA}$，
∴OB=3，m=3，
∴B（0，-3），
∵B、C關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴C（0，3），
∵拋物線的頂點(diǎn)為（-6，0），
∴可以假設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+6）²，把C（0，3）代入得a=$\frac{1}{12}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{12}$（x+6）²．

（2）如圖1中，

①當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)O左邊，滿足$\frac{OP}{OA}$=$\frac{OC}{OB}$時(shí)，△POC∽△AOB，
∴$\frac{OP}{4}$=$\frac{3}{3}$，
∴OP=4，可得P₁（-4，0）．
②當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)O左邊，滿足$\frac{OP}{OB}$=$\frac{OC}{OA}$時(shí)，△POC∽△BOA，
∴$\frac{OP}{3}$=$\frac{3}{4}$，
∴OP=$\frac{9}{4}$，可得P₂（-$\frac{9}{4}$，0）．
③根據(jù)對(duì)稱性可知當(dāng)P₃（$\frac{9}{4}$，0），P₄（4，0）時(shí)，也滿足條件．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（-4，0）或（-$\frac{9}{4}$，0）或（4，0）或（$\frac{9}{4}$，0）．

（3）如圖2中，設(shè)Q[n，$\frac{1}{12}$（n+6）²]，作QN⊥AB于N，QM∥BC交AB于M，則M（n，$\frac{3}{4}$n-3），

∵∠MQN+∠AMQ=90°，∠AMQ+∠BAO=90°，
∴∠MQN=∠BAO，
∴△MQN的三個(gè)內(nèi)角是固定不變的，
∴欲求QN的最小值，只要求出QM的最小值即可，
∵QM=$\frac{1}{12}$（n+6）²-（$\frac{3}{4}$n-3）=$\frac{1}{12}$（n+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{93}{16}$，
∵$\frac{1}{12}$＞0，
∴n=-$\frac{3}{2}$時(shí)，QM的最小值為$\frac{93}{16}$，
∴QN的最小值=QM•cos∠MQN=QM•cos∠OAB=$\frac{93}{16}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{93}{20}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理、待定系數(shù)法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用首先知識(shí)，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，第三個(gè)問題的關(guān)鍵是把求QN的最小值，轉(zhuǎn)化為求QM的最小值，屬于中考?jí)狠S題．