Question

17．已知拋物線y=x²-2x+c與x軸交于A（-1，0），B兩點，交y軸于點C，E（-2，n），F(xiàn)兩點在拋物線上．
（1）若∠EAF=90°，求點F的坐標(biāo)；
（2）若△ACF的一個角的平分線在坐標(biāo)軸上，求點F的坐標(biāo)；
（3）若△CEF的面積為5，直接寫出點F的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法求得c，然后代入E（-2，n）即可求得E的坐標(biāo)，作EM⊥x軸于M，作FN⊥x軸于N，設(shè)F（m，m²-2m-3），求得△AEM∽△FAN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出$\frac{5}{1+m}$=$\frac{1}{{m}^{2}-2m-3}$，求得m的值，即可求得F的坐標(biāo)；
（2）由題意可知：∠CAO=∠FOB，通過△AOC∽△ANF，得出$\frac{1}{1+m}$=$\frac{3}{{m}^{2}-2m-3}$，求得m的值，即可求得F的坐標(biāo)；
（3）設(shè)F（m，m²-2m-3），直線EF的解析式為y=kx+b，代入E、F的坐標(biāo)，求得b=$\frac{2{m}^{2}+m-6}{m+2}$，然后分兩個情況，根據(jù)△CEF的面積等于兩個三角形面積的和列出關(guān)于m的方程，解方程即可求得．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²-2x+c與x軸交于A（-1，0），B兩點，
∴1+2+c=0，
解得c=-3，
∴y=x²-2x-3，
∴C（0，-3），
∵E（-2，n），F(xiàn)兩點在拋物線上．
∴E（-2，5），
作EM⊥x軸于M，作FN⊥x軸于N，設(shè)F（m，m²-2m-3），
∵∠EAF=90°，
∴∠EAM+∠FAN=90°，
∴∠AEM=∠FAN，
∴△AEM∽△FAN，
∴$\frac{EM}{AN}$=$\frac{AM}{FN}$，即$\frac{5}{1+m}$=$\frac{1}{{m}^{2}-2m-3}$，
解得m₁=$\frac{16}{5}$，m₂=-1（舍去），
∴F（$\frac{16}{5}$，$\frac{21}{25}$）；
（2）由題意可知：∠CAO=∠FOB，如圖1，
∵∠AOC=∠ANF=90°，
∴△AOC∽△ANF，
∴$\frac{OA}{AN}$=$\frac{OC}{NF}$，即$\frac{1}{1+m}$=$\frac{3}{{m}^{2}-2m-3}$，
解得m₁=6，m₂=-1（舍去）
∴F（6，21）；
（3）設(shè)F（m，m²-2m-3），
∵E（-2，5），
設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b，
代入F（m，m²-2m-3），E（-2，5）得$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=5}\\{mk+b={m}^{2}-2m-3}\end{array}\right.$
解得b=$\frac{2{m}^{2}+m-6}{m+2}$，
當(dāng)b＞o時，則$\frac{1}{2}$（$\frac{2{m}^{2}+m-6}{m+2}$+3）（m+2）=5，
解得m=-1+$\sqrt{11}$或m=-1-$\sqrt{11}$；
∴F（-1+$\sqrt{11}$，11-4$\sqrt{11}$）或（-1-$\sqrt{11}$，11+4$\sqrt{11}$）；
當(dāng)b＜o(jì)時，則$\frac{1}{2}$（3-$\frac{2{m}^{2}+m-6}{m+2}$）（m+2）=5，
解得m=-2或m=3；
∴F（-2，5）或（3，0）；
故若△CEF的面積為5，點F的坐標(biāo)為F（-1+$\sqrt{11}$，11-4$\sqrt{11}$）或（-1-$\sqrt{11}$，11+4$\sqrt{11}$）或F（-2，5）或（3，0）．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點，三角形相似的判定和性質(zhì)以及三角形面積等，作出輔助線構(gòu)建相似三角形是解題的關(guān)鍵．