Question

12．己知：在矩形紙片ABCD中，AB=10cm，AD=4cm，點M是AB的中點，點N在DC上，沿MN所在的直線折疊矩形紙片ABCD，點A落在點E處，點D落在F處．
（1）如圖1，當點E落在DC上時，連接AN，求證：四邊形AMEN是菱形．
（2）在圖2中，過點M作直線l⊥AB，交CD于點G，當點E落在直線l上時．
①請畫出折疊矩形紙片ABCD后得到的四邊形NEFN；
②求MN的長．

Answer 1

分析 （1）利用法則不變性，首先證明EM=EN，推出AM=EN，AM∥EN，推出四邊形AMEN是平行四邊形，由此即可解決問題．
（2）①畫出折疊后的四邊形MEFN即可．
②在Rt△MNG中，利用勾股定理計算即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵四邊形MNFE是由四邊形MNDA翻折得到，
∴AM=ME，∠AMN=∠NME，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AMN=∠MNE，
∴∠EMN=∠ENM，
∴EN=ME，
∴AM=EN，AM∥EN，
∴四邊形AMENE是平行四邊形，
∵MA=ME，
∴四邊形AMEN是菱形．

（2）①折疊矩形紙片ABCD后得到的四邊形MEFN如圖2所示，

②∵四邊形MNFE是由四邊形MNDA翻折得到，GM⊥AB，
∴∠AMG=90°，∠AMN=∠NMG=45°，
∵AB∥CD，
∴GM⊥CD，
∴∠MGN=90°，
∴∠GNM=∠GMN=45°，
∵∠A=∠ADG=∠AMG=90°，
∴四邊形AMGD是矩形，
∴GM=AD=4
∴MN=$\sqrt{2}$MG=$\sqrt{2}$AD═4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、翻折變換、菱形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用法則不變性解決問題，掌握菱形的判定方法，屬于中考�？碱}型．