Question

9．如圖，已知△ABC的一個外角∠CAM=120°，AD是∠CAM的平分線，且DA的延長線與△ABC的外接圓交于F，連接FB、FC，且FC與AB交于E．
（1）判斷△FBC的形狀，并說明理由；
（2）請給出一個能反映AB、AC和FA之間數(shù)量關(guān)系的一個等式，并說明你給出的等式成立．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠FBC=∠CAD=60°，根據(jù)圓周角定理得到∠MAD=∠CAD=60°，根據(jù)等邊三角形的判定定理證明即可；
（2）在AB上截取AH=AC，證明△BCH≌△FCA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BH=AF，結(jié)合圖形解答即可．

解答 解：（1）△FBC是等邊三角形，
∵∠CAM=120°，AD是∠CAM的平分線，
∴∠MAD=∠CAD=60°，
∵四邊形AFBC是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠FBC=∠CAD=60°，又∠BCF=∠FAB=∠MAD=60°，
∴△FBC是等邊三角形；
（2）AB=AC+FA．
理由如下：在AB上截取AH=AC，
∵∠HAC=∠BFC=60°，
∴△AHC是等邊三角形，
∴∠ACH=60°，CA=CH，
∵∠FCB=60°，
∴∠BCH=∠FCA，
在△BCH和△FCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{CH=CA}\\{∠BCH=∠FCA}\\{BC=FC}\end{array}\right.$，
∴△BCH≌△FCA，
∴BH=FA，
∴AB=BH+AH=FA+AC．

點評 本題考查的是三角形的外接圓和外心的概念和性質(zhì)，掌握等邊三角形的判定定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理、全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．