Question

6．如圖，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且AE=EF，點O，M分別為AF，CE的中點．求證：OB=$\sqrt{2}$OM．

Answer 1

分析 連接OE、BM，求出△AEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得OE⊥AC，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM=OM=CM=$\frac{1}{2}$CE，然后求出∠BOM=2∠ACB，從而得到△BOM是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明．

解答 證明：如圖，連接OE、BM，
∵∠ABC=90°，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且AE=EF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∵點O是AF的中點，
∴OE⊥AC，
∵點M是CE的中點，
∴BM=OM=CM=$\frac{1}{2}$CE，
∴∠BOM=2∠OCM+2∠BCM=2∠ACB=90°，
∴△BOM是等腰直角三角形，
∴OB=$\sqrt{2}$OM．

點評 本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．