Question

18．如圖，拋物線y=-$\frac{4}{9}$x²+$\frac{16}{9}$x+$\frac{20}{9}$與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為C，問：在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使⊙P與x軸和直線BC都相切？若存在，請(qǐng)求出P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 首先求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及對(duì)稱軸，然后作出圖形，利用勾股定理的知識(shí)求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)即可．

解答 解：令y=-$\frac{4}{9}$x²+$\frac{16}{9}$x+$\frac{20}{9}$=0，
即-4x²+16x+20=0，
∴x²-4x-5=0，
∴（x-5）（x+1）=0，
∴x₁=-1，x₂=5，
∴點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（5，0），
∴拋物線對(duì)稱軸為x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），
假設(shè)存在點(diǎn)P，使⊙P與x軸和直線BC都相切，
則點(diǎn)P是∠ABC的角平分線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，如圖，
過P點(diǎn)作PE⊥BC于點(diǎn)E，
則PE=PD，BD=BE，
∵CD=4，BC=3，
∴BC=5，
設(shè)PD=PE=x，
則PC=4-x，CE=2，
∴CE²+PE²=PC²，
∴2²+x²=（4-x）²，
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，$\frac{3}{2}$），
即拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使⊙P與x軸和直線BC都相切．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線與x軸交點(diǎn)問題，解答本題的關(guān)鍵是找出點(diǎn)P在∠ABC的角平分線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)上，此題難度不大．