Question

10．在△ABC中，AC=BC，AB=4，tanB=2，D為AC邊上的中點(diǎn)，延長BC到點(diǎn)E，使得CE=$\sqrt{5}$，根據(jù)題意畫出示意圖，并求出DE的長．

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出圖形，進(jìn)而結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出MC的長，再利用勾股定理得出答案．

解答 解：如圖所示：
過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，延長ED交AB于點(diǎn)N，過點(diǎn)C作CM⊥ED于點(diǎn)M，
∵AB=4，
∴AF=BF=2，
∵tanB=2，
∴CF=4，
∴AC=BC=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵D為AC邊上的中點(diǎn)，
∴DC=$\sqrt{5}$，
∵EC=$\sqrt{5}$，
∴△CED是等腰三角形，
∵AC=BC，CF⊥AB，
∴∠ACF=∠BCF，
∵EC=DC，
∴∠E=∠EDC，
∵∠E+∠EDC=∠ACF+∠BCF，
∴∠EDC=∠DCF，
∴ED∥FC，
∴∠ENF=90°，
可得四邊形CMNF是矩形，
∵DN∥FC，AD=DC，
∴AN=NF=1，
∴MC=1，
∴EM=MD=2，
故DE=4．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了解直角三角以及等腰三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，正確得出MC的長是解題關(guān)鍵．