Question

9．【探索新知】
已知平面上有n（n為大于或等于2的正整數(shù)）個點A₁，A₂，A₃，…A_n，從第1個點A1開始沿直線滑動到另一個點，且同時滿足以下三個條件：①每次滑動的距離都盡可能最大；②n次滑動將每個點全部到達一次；③滑動n次后必須回到第1個點A₁，我們稱此滑動為“完美運動”，且稱所有點為“完美運動”的滑動點，記完成n個點的“完美運動”的路程之和為S_n．
（1）如圖1，滑動點是邊長為a的等邊三角形三個頂點，此時S₃=3a；
（2）如圖2，滑動點是邊長為a，對角線（線段A₁A₂、A₂A₄）長為b的正方形四個頂點，此時S₄=2a+2b．
【深入研究】
現(xiàn)有n個點恰好在同一直線上，相鄰兩點距離都為1，
（3）如圖3，當n=3時，直線上的點分別為A₁、A₂、A₃．
為了完成“完美運動”，滑動的步驟給出如圖4所示的兩種方法：
方法1：A₁→A₃→A₂→A₁，方法2：A₁→A₂→A₃→A₁．
①其中正確的方法為A．
A．方法1    B．方法2    C．方法1和方法2
②完成此“完美運動”的S₃=4．
（4）當n分別取4，5時，對應(yīng)的S₄=8，S₅=12．
（5）若直線上有n個點，請用含n的代數(shù)式表示S_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)滑動點是邊長為a的等邊三角形三個頂點進行判斷即可；
（2）根據(jù)滑動點是邊長為a，對角線長為b的正方形四個頂點進行判斷即可；
（3）“完美運動”需要滿足以下三個條件：①每次滑動的距離都盡可能最大；②n次滑動將每個點全部到達一次；③滑動n次后必須回到第1個點A₁，而方法2 是錯的，不滿足第①個條件；
（4）根據(jù)條件：①每次滑動的距離都盡可能最大；②n次滑動將每個點全部到達一次；③滑動n次后必須回到第1個點A₁，進行計算即可得出S₄=3+2+1+2=8，S₅=4+3+2+1+2=12；
（5）如果有n 個點，第一次要最大，只能是從第1 個點到第n 個點，長度是n-1；第2次要最大，只能是從第n 個點到第2 個，長度是n-2；按照此規(guī)律，如果n 是奇數(shù)，則最
后到最中間的點$\frac{n+1}{2}$，此點回到第1個點距離為$\frac{n+1}{2}-1$；如果n 為偶數(shù)，則最后到的點是$\frac{n}{2}+1$，此點回到第1 個點距離為$\frac{n}{2}$，據(jù)此進行計算即可．

解答 解：（1）如圖1，∵滑動點是邊長為a的等邊三角形三個頂點，
∴S₃=3a，
故答案為：3a；

（2）如圖2，∵滑動點是邊長為a，對角線長為b的正方形四個頂點，
∴S₄=2a+2b，
故答案為：2a+2b；

（3）如圖4，①∵方法2 是錯的，不滿足第①個條件，每一次距離要是最大的，
∴方法1正確，
故選A；
②如圖3，S₃=2+1+1=4，
故答案為：4；

（4）根據(jù)條件：①每次滑動的距離都盡可能最大；②n次滑動將每個點全部到達一次；③滑動n次后必須回到第1個點A₁，可得：
S₄=3+2+1+2=8，
S₅=4+3+2+1+2=12，
故答案為：8，12；

（5）n 為奇數(shù)時：S_n=n-1+n-2+…+1+$\frac{n+1}{2}$-1=$\frac{{n}^{2}-1}{2}$；
n 為偶數(shù)時：S_n=n-1+n-2+…+1+$\frac{n}{2}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$．

點評 本題主要考查了有關(guān)三角形，矩形以及線段的變化類的規(guī)律型問題，解決問題的關(guān)鍵是理解“完美運動”所滿足的條件：每次滑動的距離都盡可能最大；n次滑動將每個點全部到達一次；滑動n次后必須回到第1個點A₁，這是計算的主要依據(jù)．解題時注意分類思想的運用．