Question

14．已知：如圖二次函數(shù)y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，圖象頂點(diǎn)為N，對(duì)稱軸ND為直線x=3．
（1）求此二次函數(shù)表達(dá)式；
（2）將該拋物線沿它的對(duì)稱軸向上平移到點(diǎn)M，設(shè)平移后的拋物線與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為A、B、C三點(diǎn)，連結(jié)AC、AB、BC，當(dāng)tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，求證：△ABC是直角三角形；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，試求出以線段OC、MN和兩拋物線所圍成的區(qū)域的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)稱軸公式，待定系數(shù)法，可得函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)正切函數(shù)，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得平移后的解析式，根據(jù)正切值，可得∠ABC=∠ACO，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得答案；
（3）根據(jù)線段CM與平移后的拋物線圍成區(qū)域和線段ON與原拋物線圍成的區(qū)域面積相等，可得以線段OC、MN和兩拋物線所圍成的區(qū)域的面積等于S_{四邊形OCNM}．

解答 解：（1）由圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，得
c=0，由對(duì)稱軸等于3，得
x=-$\frac{-2×\frac{1}{4}}$=3，解得b=$\frac{3}{2}$，
y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x；
（2）設(shè)平移后的拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+c，則OC=c，tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，
∴OB=2c，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（2c，0），
把點(diǎn)B代入上式，得c=4，
∴平移后的拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4，
∵OA=2，OC=4，OB=8，tan∠ABC=tan∠ACO=$\frac{1}{2}$，
∴∠ABC=∠ACO，
∵OC⊥AB，
∴∠ABC+∠BCO=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）如圖，
連線CM，ON，由平移，得
OC平行且等于MN，
∴四邊形OCNM是平行四邊形，S_{四邊形OCNM}=OC•OD=12，
由平移，得
線段CM與平移后的拋物線圍成區(qū)域和線段ON與原拋物線圍成的區(qū)域面積相等，
則以線段OC、MN和兩拋物線所圍成的區(qū)域的面積等于S_{四邊形OCNM}=12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是利用正切函數(shù)的定義得出∠ABC=∠ACO，又利用了余角的性質(zhì)；解（3）的關(guān)鍵是利用平移得出以線段OC、MN和兩拋物線所圍成的區(qū)域的面積等于S_{四邊形OCNM}．