Question

12．第1個(gè)等式：a₁=$\frac{1}{1×3}=\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{3}）$；第2個(gè)等式：a₂=$\frac{1}{3×5}=\frac{1}{2}×（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$；第3個(gè)等式：a₃=$\frac{1}{5×7}=\frac{1}{2}×（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$；第4個(gè)等式：a₄=$\frac{1}{7×9}=\frac{1}{2}×（\frac{1}{7}-\frac{1}{9}）$；…
解答下列問題：
（1）按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式，a₅=$\frac{1}{9×11}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{11}$）；
（2）用含n的代數(shù)式第n個(gè)等式：a_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）（n為正整數(shù)）；
（3）求a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₂₀₁₄的值．

Answer 1

分析 （1）（2）觀察知，找第一個(gè)等號后面的式子規(guī)律是關(guān)鍵：分子不變，為1；分母是兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的乘積，它們與式子序號之間的關(guān)系為 序號的2倍減1和序號的2倍加1；
（3）求得每一個(gè)數(shù)據(jù)，運(yùn)用得出的規(guī)律拆分計(jì)算即可．

解答 解：（1）第1個(gè)等式：a₁=$\frac{1}{1×3}=\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{3}）$；
第2個(gè)等式：a₂=$\frac{1}{3×5}=\frac{1}{2}×（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$；
第3個(gè)等式：a₃=$\frac{1}{5×7}=\frac{1}{2}×（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$；
第4個(gè)等式：a₄=$\frac{1}{7×9}=\frac{1}{2}×（\frac{1}{7}-\frac{1}{9}）$；
…
第5個(gè)等式，a₅=$\frac{1}{9×11}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{11}$）；
（2）第n個(gè)等式：a_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）（n為正整數(shù)）；
（3）a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₂₀₁₄
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{4027}$-$\frac{1}{4029}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{4027}$-$\frac{1}{4029}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{4029}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{4028}{4029}$
=$\frac{2014}{4029}$．

點(diǎn)評 此題考查尋找數(shù)字的規(guī)律及運(yùn)用規(guī)律計(jì)算．尋找規(guī)律大致可分為2個(gè)步驟：不變的和變化的；變化的部分與序號的關(guān)系．