Question

6．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC=60°，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AP+PE的值最小時(shí)，PC的長(zhǎng)是（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 作點(diǎn)E關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接AE′，則線段AE′的長(zhǎng)即為AP+PE的最小值，再由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知DE=DE′=1，故可得出△AE′D是直角三角形，由菱形的性質(zhì)可知∠PDE′=$\frac{1}{2}$∠ADC=30°，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出PE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出PC的長(zhǎng)．

解答 解：如圖所示，
作點(diǎn)E關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接AE′，則線段AE′的長(zhǎng)即為AP+PE的最小值，
∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E是AD邊中點(diǎn)，
∴DE=DE′=$\frac{1}{2}$AD=1，
∴△AE′D是直角三角形，
∵∠ABC=60°，
∴∠PDE′=$\frac{1}{2}$∠ADC=30°，
∴PE′=DE′•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴PC=$\sqrt{PE{′}^{2}+CE{′}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，熟知菱形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．