Question

2．閱讀下面材料：
小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，試判斷BC和AC、AD之間的數(shù)量關(guān)系．
小明發(fā)現(xiàn)，利用軸對稱做一個(gè)變化，在BC上截取CA′=CA，連接DA′，得到一對全等的三角形，從而將問題解決（如圖2）．
請回答：
（1）在圖2中，小明得到的全等三角形是△ADC≌△A′DC；
（2）BC和AC、AD之間的數(shù)量關(guān)系是BC=AC+AD．
參考小明思考問題的方法，解決問題：
如圖3，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9．求AB的長．

Answer 1

分析 （1）由SAS容易證明△ADC≌△A′DC；
（2）由△ADC≌△A′DC，得出DA′=DA，∠CA′D=∠A=60°，再求出DA′=BA′，得出BA′=AD，即可得出結(jié)論；
解決問題：在AB上截取AE=AD，連接CE，先證明△ADC≌△AEC，得出AE=AD=9，CE=CD=10=BC，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，設(shè)EF=BF=x；在Rt△CFB和Rt△CFA中，根據(jù)勾股定理求出x，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）△ADC≌△A′DC；理由如下：
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠A′CD，
在△ADC和△A′DC中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA′=CA}&{\;}\\{∠ACD=∠A′CD}&{\;}\\{CD=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△A′DC（SAS）；
（2）BC=AC+AD；理由如下：
由（1）得：△ADC≌△A′DC，
∴DA′=DA，∠CA′D=∠A=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠B=90°-∠A=30°，
∵∠CA′D=∠B+∠BDA′，∠∠BDA′=30°=∠B，
∴DA′=BA′，
∴BA′=AD，
∴BC=CA′+BA′=AC+AD；
解決問題
如圖，在AB上截取AE=AD，連接CE，如圖3所示：
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠EAC．
在△AEC和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}&{\;}\\{∠DAC=∠EAC}&{\;}\\{AC=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△AEC（SAS），
∴AE=AD=9，CE=CD=10=BC，
過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，
∴EF=BF，
設(shè)EF=BF=x．
在Rt△CFB中，∠CFB=90°，由勾股定理得CF²=CB²-BF²=10²-x²，
在Rt△CFA中，∠CFA=90°，由勾股定理得CF²=AC²-AF²=17²-（9+x）²．
∴10²-x²=17²-（9+x）²，
解得：x=6，
∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21，
∴AB的長為21．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)；本題有一定難度，需要通過作輔助線證明三角形全等才能得出結(jié)果．