Question

3．已知直線l：y=2x+1和拋物線C₁：y=a（x-t-2）²+t²（a，t是常數(shù)，a≠0，t≠0），拋物線C₁與x軸交于點(diǎn)A（2，0）
（1）求a的值；
（2）若t＞0，把拋物線C₁向左平移t個(gè)單位后得拋物線C₂，若拋物線C₂與直線l有唯一公共點(diǎn)M，求平移后的拋物線C₂解析式；
（3）若點(diǎn)N是拋物線C₂的頂點(diǎn)，在拋物線C₂上是否存在點(diǎn)Q，使△MNQ是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（2，0）代入C₁得到a（2-t-2）²+t²=0，根據(jù)a≠0，t≠0，可求a的結(jié)果；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)可得C₂：y=-（x-2）²+t²，根據(jù)判別式可得t的值，從而得到拋物線C₂解析式；
（3）由（2）把t=2代入①得x=1，得M（1，3），N（2，4），則直線NA是對(duì)稱軸，分兩種情況：①作MQ₁⊥NA于B交拋物線于點(diǎn)Q₁，②若∠NMQ₂=90°，作MH⊥x軸于點(diǎn)C．進(jìn)行討論可求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答 解：（1）把A（2，0）代入C₁得到：a（2-t-2）²+t²=0，
即（1+a）t²=0，
∵a≠0，t≠0，
∴a=-1；
（2）由（1）得C₁：y=-（x-t-2）²+t²，
∵把拋物線C₁向左平移t個(gè)單位后得拋物線C₂，
∴C₂：y=-（x-2）²+t²，
令-（x-2）²+t²=2x+1，
整理得x²-2x+5-t²=0，①
∵拋物線C₂與直線l有唯一公共點(diǎn)M，
∵△=4-4×1×（5-t²）=0，
∴t²=4，
∵t＞0，
∴t=2，
∴拋物線C₂解析式為：y=-（x-2）²+4；
（3）存在點(diǎn)Q，使△MNQ是直角三角形，
由（2）把t=2代入①得x=1，得M（1，3），N（2，4），則直線NA是對(duì)稱軸，
①作MQ₁⊥NA于B交拋物線于點(diǎn)Q₁，
∵M(jìn)B=BQ₁=NB=1，
∴∠MNQ₁=90°，
∴Q₁（3，3）；
②若∠NMQ₂=90°，作MH⊥x軸于點(diǎn)C．
∵∠NMQ₁=45°，
∴∠Q₂MQ₁=45°，
∴∠CMQ₂=∠CQ₂M=45°，
∴CM=CQ₂，
設(shè)Q（m，-m²+4m），
∴m-1=3-（-m²+4m），
解得m₁=1（舍去），m₂=4，
∴Q₂（4，0）
綜上所述，存在點(diǎn)Q₁（3，3），Q₂（4，0），使△MNQ是直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了拋物線解析式的確定，平移的性質(zhì)，判別式，直角三角形的性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，（3）小題中，都用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難點(diǎn)在于考慮問題要全面，做到不重不漏．