Question

2．如圖1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏將一塊三角板中含45°角的頂點(diǎn)放在A上，從AB邊開始繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)D，直角邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)E．

（1）小敏在線段BC上取一點(diǎn)M，連接AM，旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)：若AD平分∠BAM，則AE也平分∠MAC．請(qǐng)你證明小敏發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；
（2）當(dāng)0°＜α≤45°時(shí)，小敏在旋轉(zhuǎn)中還發(fā)現(xiàn)線段BD、CE、DE之間存在如下等量關(guān)系：BD²+CE²=DE²．同組的小穎和小亮隨后想出了相同的方法進(jìn)行解決：將△ABD沿AD所在的直線對(duì)折得到△ADF（如圖2）；請(qǐng)證明小敏的發(fā)現(xiàn)的是正確的．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖形、已知條件推知∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC=45°，所以∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；
（2）應(yīng)用折疊對(duì)稱的性質(zhì)和SAS得到△AEF≌△AEC，在Rt△OCE中應(yīng)用勾股定理而證明；

解答 解：（1）證明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．
∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°．
∵∠BAD=∠DAM，
∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°，
∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC，
∴∠MAE=∠EAC，
即AE平分∠MAC；
（2）如圖2，

連接EF．
由折疊可知，∠BAD=∠FAD，AB=AF，BD=DF，
∵∠BAD=∠FAD，
由（1）可知，∠CAE=∠FAE．
在△AEF和△AEC中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠FAE=∠CAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．
∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．
在Rt△DFE中，DF²+FE²=DE²，
∴BD²+CE²=DE²．

點(diǎn)評(píng) 此題是幾何變換綜合題，主要考查了角平分線的定義，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，折疊對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．注意，旋轉(zhuǎn)前后，圖形的大小和形狀都不改變．