Question

6．如圖，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒1cm，設出發(fā)的時間為t秒．
（1）出發(fā)2秒后，求△PAB的周長；
（2）問t為何值時，△PBC構成等腰三角形？
（3）另有一點Q，從點C開始，按C→B→A→C的路徑運動，且速度為每秒2cm，若P、Q兩點同時出發(fā)，當P、Q中有一點到達終點時，另一點也停止運動．當t為何值時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分？

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理求出PB即可解決問題．
（2）①P在AC上，易知PC=BC，t=6s，②P在AB上時，分三種情形分類討論即可解決問題．
（3）當P點在AC上，Q在AB上時：AP=8-t，AQ=16-2t，因為直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，可得8-t+16-2t=12，t=4；當P點在AB上，Q在AC上時：AP=t-8，AQ=2t-16，因為直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，推出t-8+2t-16=12，解方程即可．

解答 解：（1）如圖1中，

∵∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，
根據(jù)勾股定理，可得AC=8cm．
出發(fā)2s后，點P在線段AC上，且CP=2cm，
∴BP=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$cm，AP=6cm．
∴△PAB周長為（16+2$\sqrt{10}$）cm．

（2）P在AC上時：
當t=6s時  PC=BC
P在AB上時：
當CB=PC時，如圖作CH⊥AB于H，

由△BCH∽△BAC，可得BH=$\frac{C{B}^{2}}{BA}$=$\frac{18}{5}$，
∴PH=HB=$\frac{18}{5}$，
∴PA=AB-PB=$\frac{14}{5}$，
∴t=8+$\frac{14}{5}$=10.8s
當BC=PB時，t=8+4=12s．
當PB=PC時，易知AP=PB=5，t=13s，．
∴當t=6s，10.8s，12s和13s  時，△PBC構成等腰三角形．

（3）當P點在AC上，Q在AB上時：
AP=8-t，AQ=16-2t，
∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，
∴8-t+16-2t=12，
∴t=4；                          
當P點在AB上，Q在AC上時：
AP=t-8，AQ=2t-16，
∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，
∴t-8+2t-16=12，
∴t=12．
∴當t為4 s或12s時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分．

點評 本題考查三角形綜合題、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會構建方程，把問題轉化為方程解決，屬于中考壓軸題．